逻辑构造（二）

描写理论引入了罗素的不完全符号概念。这是因为在出现描写的句子的形式分析中没有出现与“F”等同的定义。句子“The F� is H�”变成：

∃x[∀y(Fy↔y=x) & Hx]∃�[∀�(��↔�=�) & ��]

其中没有子公式，甚至没有连续的片段可以被识别为“The F”的分析。同样，谈论“平均家庭”，如“平均家庭有 2.2 个孩子”变成“家庭中孩子的数量除以家庭数量 = 2.2”。该公式中没有与“平均家庭”相对应的部分。相反，我们给出了一个从出现这些表达式的上下文中消除这些表达式的过程，因此这是“不完整符号”的另一个例子，平均值的定义是“上下文定义”的一个例子。

可以说，罗素对明确描写的定义是表面语法形式和逻辑形式之间哲学区分的最突出的早期例子，因此标志着语言分析作为一种哲学方法的开始。语言分析首先要透过表面语言形式来观察潜在的哲学分析。弗兰克·拉姆齐将描写理论描述为“哲学范式”（Ramsey 1929, 1）。虽然它本身肯定不是所有哲学的模型，但它至少是罗素在 1924 年回顾其哲学发展时列出的其他逻辑构造例子的范式。描写理论受到一些语言学家和哲学家的批评，他们认为描写和其他名词短语是句子的成熟语言成分，并认为语法形式和逻辑形式之间的严格区分是一种错误。 （参见关于描述的条目。）

继吉尔伯特·赖尔 (Gilbert Ryle) (1931) 对迈农的不存在对象理论的有影响力的批评之后，描述理论被视为避免对对象进行本体论承诺的模型，因此一般来说，逻辑构造通常被视为主要用于消除所谓的实体。事实上，这个目标对许多构造来说最多只是外围的。这些构造的主要目标是允许证明原本必须被视为公理或假设的命题。构造的引入也不一定总是导致消除有问题的实体。然而，其他构造应该更多地被看作是将一类实体简化为另一类实体，或者用更精确、更数学的替代品替代一个概念。

5. 类

罗素在《数学原理》第 20 章中提出的“无类”类理论提供了类似明确描述理论的上下文定义。罗素对“所有不属于自身的类的类”悖论的早期诊断之一是，它表明类不能是个体。事实上，罗素似乎通过应用康托尔著名的对角线论证来表明个体的类比个体多，从而发现了他的悖论。因此，他得出结论，类不能是个体，而诸如“{x:Fx}{�:��}”之类的类的表达式不能是它们看起来的单称项。受描写论的启发，罗素提出，说某个 F� 类中的 G�，G� {x:Fx}{�:��}，就是说存在某个（谓语）属性 H�，与 F� 同延（对与 F� 相同的事物而言为真），使得 H� 是 G�。对谓语属性或未用量化方式定义的属性进行限制，是类型理论衍生的结果，旨在避免内涵或“认识论”悖论，除了集合理论的“罗素悖论”之外，这种悖论也激发了类型理论的发展（参见 Whitehead and Russell 1910–13，导言，第二章）。然而，这些谓语属性是内涵的，因为两个不同的属性可能适用于同一对象。 （参见《数学原理》中符号的条目。）因此，如此定义的类具有外延性的特征是可推导的，而不是假定的。如果 F� 和 H� 是同延的，那么对 {x:Fx}{�:��} 成立的任何事物对 {x:Hx}{�:��} 也成立。类的特征随后从属性逻辑的​​特征中得出。

因为类乍一看似乎是某种个体，但分析后发现并非如此，所以罗素将它们称为“逻辑虚构”，这一表达与杰里米·边沁的“法律虚构”概念相呼应。（Hart 1994, 84）（参见法律和语言条目）。对边沁来说，公司在法律上是“人”仅仅是一种虚构，可以通过法律地位的概念和真实人的财务责任限制来兑现。因此，任何关于此类“法律虚构”的语言都可以用其他术语来翻译，即关于真实个体及其法律关系的语言。由于将属性归因于特定类别的陈述被存在句所取代，表示存在具有该属性的命题函数，因此这种构造也可以被描述为表明类表达式（例如“{x:Fx}{�:��}”）是不完整的符号。它们不会被表达术语的某个较长的公式所取代。另一方面，该定义不应被视为完全避免本体论承诺，因为它表明某事物实际上是“虚构的”。相反，它展示了如何将类别简化为命题函数。类别的属性实际上是命题函数的属性，对于每个被认为具有属性的类别，确实存在具有该属性的命题函数。

6. 级数、序数和实数

Whitehead 和 Russell 在《数学原理》第二卷 ∗204.01 中将级数定义为所有关系的 Ser 类，它是传递的、连通的和非自反的。当关系 R� 为传递的，如果 xRy��� 和 yRz��� 则 xRz���。当对于任何定义它的 x� 和 y�，要么是 xRy��� 要么是 yRx��� 时，它是连通的。最后，非自反关系是这样的，对于所有 x�，xRx��� 都不成立。任何具有这些属性的关系都会形成与其相关的一系列事物。这种关系现在称为“线性排序”或简称为“排序”。这里的“逻辑构造”只是对关系的某种属性的隐式定义。当然，没有人认为系列仅仅是发明的“虚构”，它们的符号“Ser”是“不完整的”，只是因为它可以明确定义为其他类（一类类）的交集，而类本身是“不完整的”。

罗素对序数和实数的定义类似于自然数的定义。序数是关系数的一个特例。正如基数可以定义为一类相似类，其中相似性仅仅是等数性，即两个类之间存在一对一的映射，关系数是一类按某种关系排序的相似类。序数是有序类的关系数。“关系算术”是《数学原理》第二卷第四部分第∗150 章至 ∗186 章的主题。序数算术的所有性质都源自更一般的关系数算术。因此，例如，序数的加法是不可交换的。第一个无限序数ω�是类似于1,2,3，...1,2,3，...等的有序类的关系数。和1+ω1+�将是在排序开头添加一个元素（比如0,1,2,3，...0,1,2,3，...等）得到的有序类的关系数，其具有相同的序数ω�。因此1+ω=ω1+�=�。另一方面，在这样一个有序类的“末尾”添加一个元素将给出一个不相似的排序：1,2,3，...等，01,2,3，...等，0。因此，1+ω≠ω+11+�≠�+1。另一方面，序数的加法，实际上关系数的加法，是结合律，即 (α+β)+γ=α+(β+γ)(�+�)+�=�+(�+�)，这在 ∗174 中得到了一定限制的证明。因此，序数被精确地定义为自然数，是相似类的类，这样就可以证明所有所需的定理。将序数描述为“虚构”、“不完整符号”和“构造”的方式与自然数的情况相同。

实数类 Θ 在《数学原理》第三卷 ∗310.01 中定义为由有理数的“戴德金级数”组成，而有理数又是自然数“比率”的关系数。怀特海和罗素将实数视为有理数的戴德金分割，与当代集合论中对数的更标准发展唯一的不同之处在于，他们将有理数视为某种关系数，而不是有序的整数对（“分子”和“分母”）。与将关系数构造为相似类的类一样，实数的“逻辑构造”不同于一般的明确描述和类的理论，因为它没有定义“不完全符号”，也没有表明这些数字实际上是“虚构的”。它们最典型的特征是允许证明关于这些数字的定理的定义，否则这些定理必须被假设为公理。它们是罗素更喜欢的“诚实劳动”的产物。

7. 数学函数

尽管数学函数分析是定性描述理论在定性描述理论中的主要应用，但罗素在 1924 年的“逻辑构造”列表中并未提及数学函数。定性描述理论的基本“函数”是命题函数。希腊字母 ϕ、ψ、θ、…�、�、�、… 是命题函数的变量，它们与各个变量 x、y、z、…�、�、�、… 组合在一起形成开放句 ϕ(x)、ψ(x,y)�(�)、�(�、�) 等。这是现代谓词逻辑的常见语法。数学函数（例如正弦函数和加法）表示为项形成运算符，例如 sinxsin⁡� 或 x+y�+�。在当代逻辑中，它们用函数字母和相应数量的参数来表示，f(x),g(x,y)�(�),�(�,�) 等。在第 ∗30 章中，怀特黑德和罗素提出用明确的描述来直接解释数学函数的此类表达式，他们称之为“描述函数”。考虑一个数与其正弦之间的关系，即当 y=sinx�=sin⁡� 时 x� 和 y� 之间的关系。将此关系称为“Sine(x,y)Sine(�,�)”或更简单地称为“S(x,y)�(�,�)”，作为二元关系。然后，数学函数可以用明确的描述来表达，将我们的表达式“x 的正弦”解释为“sin(x)sin⁡(�)”，而不是字面意义上的“x 的正弦”，具有明确的描述，或“y”，使得 Sine(x,y)Sine(�,�)”。使用明确描述理论的符号，这是“(ιx)S(x,y)(��)�(�,�)”。这种分析的效果是，怀特海和罗素可以用基于关系的明确描述替换所有数学函数表达式。这个定义涉及扩展关系，用大写罗马字母和变量之间的关系符号表示。PM 中的定义为：∗30.01。 R‘y=(ιx)xRy�‘�=(��)���，其中符号 R‘y�‘� 读作“y� 的 R�”。与描述理论一样，此定义的结果是为了便于证明定理，这些定理捕捉了数学函数的逻辑属性，而这些属性将是 PM 进一步工作所需要的。

PM 中函数表达式的逻辑分析将它们呈现为明确描述的特例，“x� 的 R�”。在 ∗30 的摘要中我们发现：

描述函数与一般描述一样，孤立地看没有任何意义，而只是作为命题的组成部分。（Whitehead 和 Russell 1910–13，232）

因此，数学或描述函数明确包含在《数学原理》的不完整符号中。

8. 命题和命题函数

在《数学原理》中，罗素通过提出一种本体论观点引入了判断的多重关系理论：

宇宙由具有各种品质并处于各种关系中的物体组成。（怀特黑德和罗素 1910-13，43）

罗素继续解释判断的多重关系理论，该理论在这个处于关系中的物体和品质的世界中找到了命题的位置。（参见命题条目。）

罗素从 1910 年到 1919 年左右一直坚持的多重关系理论认为，命题的成分，比如“苔丝狄蒙娜爱卡西奥”，是统一的，但这并不意味着它们本身就构成了一个事实。这些成分只出现在信念的背景下，比如“奥赛罗判断苔丝狄蒙娜爱卡西奥”。真正的事实是奥赛罗、苔丝狄蒙娜和卡西奥这几个成分之间存在一种信念关系：B(o,d,L,c)�(�,�,�,�)。因为人们也可能相信其他结构的命题，比如 B(o,F,a)�(�,�,�) ，所以需要有许多这样的关系 B�，它们具有不同的“元数”或论据数量，因此得名“多重关系”理论。就像数字的构造一样，这种构造从信念的多次出现的共同点中抽象出来，即信徒与各种对象之间按一定顺序的关系。这种解释还使命题成为一个不完整的符号，因为在“x�相信p�”的分析中没有与“p�”相对应的成分。因此，罗素得出结论：

可以看出，根据上述解释，一个判断不只有一个对象，即一个命题，而是有几个相互关联的对象。这就是说，构成判断的关系，不是两个项的关系，即判断心灵与命题，而是多个项的关系，即心灵与所谓命题的构成要素……

由于单一判断的对象有多个，因此我们所说的“命题”（在其中它与表达它的短语区分开来）根本不是一个单一的实体。也就是说，表达命题的短语是我们所说的“不完整”符号；它本身没有意义，但需要一些补充才能获得完整的意义。（Whitehead 和 Russell 1910-13，43-44）

虽然在《数学原理》中很少出现跨越命题的约束变量（∗14.3 中有一个突出的例外），但整个类型理论似乎都是命题函数的理论。然而，根据命题“根本不是单一实体”的说法，罗素对命题函数也说了同样的话。在《数学哲学导论》中，罗素说命题函数实际上“什么都不是”，但“尽管如此，它仍然很重要”（Russell 1919, 96）。如果我们将命题函数视为通过从其值（即命题）中抽象出来而构造出来的，那么这种评论最有意义。命题函数“x� 是人类”是从其值“苏格拉底是人类”、“柏拉图是人类”等中抽象出来的。将命题函数视为从命题构造而来，而命题又是通过多重关系理论构造的，这有助于理解《数学原理》中命题函数类型理论的某些特征。我们可以理解命题函数似乎如何依赖于它们的值，即命题，以及命题本身如何成为逻辑构造。 《数学原理》导论中用“预设”的概念解释了这种依赖关系与类型理论的关系：

然而，函数的本质特征似乎是模糊性……我们可以这样表达：“ϕx��”模糊地表示ϕa、ϕb、ϕc、��、��、��等，其中ϕa、ϕb、ϕc、��、��、��等是“ϕx��”的各种值。……根据上述说明，可以看出，函数的值由该函数预设，而不是相反。在任何特定情况下，很明显，函数的值并不预设该函数。因此，例如，命题“苏格拉底是人类”可以完全理解，而无需将其视为函数“x�是人类”的值。相反，函数可以被理解，而不需要单独理解其值。如果不是这样，那么根本就无法理解任何函数，因为函数的值（真和假）的数量必然是不确定的，并且必然存在我们不熟悉的可能参数。（Russell 1910-13，39-40）

对于命题函数和命题，“不完整符号”的概念似乎不如“构造”那么合适。将命题甚至命题函数归类为与明确描述相同的逻辑现象的实例需要对这一概念进行相当大的扩展。

命题和命题函数在罗素逻辑中的本体论地位，特别是在《数学原理》中，目前是相当有争议的主题。一种我们或许可以称之为“现实主义”的解释，在 1976 年阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）关于分支类型理论的研究中，在脚注中进行了总结：

因此，我们将命题视为命题变量的值，理由是罗素逻辑的背景和目的明确要求这样做，尽管怀特海和罗素在《PM》第 43-44 页中似乎明确否认了这一点。

事实上，怀特海和罗素声称：“我们所说的‘命题’（在与表达命题的短语不同的意义上）根本不是一个单一的实体。也就是说，表达命题的短语就是我们所说的‘不完整符号’……”他们似乎意识到命题的这种分裂需要命题功能的类似分裂。但是，“不完全符号”特征隐含地承诺的上下文定义从未完全提供，尤其是它们如何解释绑定命题和函数变量的使用。如果罗素在第二版导言的 IV 和 V 中所说的一些事情可以作为意图的指示，那么上下文定义很可能经不起推敲。

[(Russell 1908)] 和 [(Whitehead and Russell 1910–13)] 中的许多段落可以理解为说或具有这样的后果：命题函数的值是句子。但是，在此基础上很难提供罗素形式化语言的连贯语义（特别注意，由于句子也代替了命题变量，因此有必要将句子作为句子的名称。）并且由于所讨论的段落似乎涉及使用和提及的混淆或类似的混淆，这些混淆可能只是粗心大意，因此不能肯定它们应该被视为语义的精确陈述。（Church 1976，注 4）

格雷戈里·兰迪尼 (1998) 提出，在 PM 中确实存在一种连贯的命题和命题功能语义，它将功能和命题视为语言实体。兰迪尼提出，这种“名义主义语义学”是对 PM 的预期解释，也是罗素早期“替代理论”的遗留。他认为，罗素在首先拒绝了类别的现实性，然后是命题功能的现实性，最后是命题的现实性之后，走向了这种名义主义。根据兰迪尼的说法，这种拒绝只给我们留下了一种对个体和表达式的名义主义形而上学作为对罗素逻辑的解释。另见 Cocchiarella (1980)，他描述了一种用于分支类型理论的“名义主义语义学”，但拒绝将其作为罗素的预期解释。 Sainsbury (1979) 描述了量词对命题函数的“替代”解释，但将其与真值条件语义相结合，而真值条件语义不需要类型理论的衍生，而类型理论是罗素在 PM 中的解释的核心。

命题和命题函数与明确的描述和类别不同，因为在 PM 中没有对它们的明确定义。不清楚这句话的意思：命题的符号——例如变量 p� 或 q�——“孤立时没有意义”，但可以在“上下文中”赋予意义。在命题和命题函数作为原始概念出现的逻辑中，似乎不可能有这样的上下文定义。