代数（完结）
它也可以通过识别顶点从自由载的树表示中获得。 考虑案例n =两个字母的2个字母。 由于识别不改变字长度，因此所有标识都具有与根的相同深度的顶点。 我们同时执行所有标识，如下所示。 在每个顶点V，识别V01和V10及其子树。 虽然在深度n的顶点之前，但现在有n + 1。 此外，我们具有平面的右上象限，即N2，顺时针旋转135度，其它顶点在下一个级别下的磁力顶部的每个顶部v，并且所识别的对v01 = v10下面都是。
要在N个发电机上形成自由组，首先在2N发电机上形成自由的龙门阀，发电机组织成互补成对的每个相反，然后从所有单词中删除所有相邻的互补对。
这个观点并不是特别有洞察力。 树代表的小组对应于呈现自由群体的更好工作。 考虑N = 2发电机A和B上的自由组。我们从4个发电机A，B，A，B的免费龙门开始，其中A是B的逆。该树的每个顶点都有4个后代。 因此，根具有4度，剩余顶点具有5度：每个顶点，除了根的一个边缘进入，说发电机A和四个。 考虑任何非热顶V.删除相邻互补对的效果是用V的四个后代之一识别V的直接祖先，即使得从祖先到后代互补的对的路径。 对于每个非热顶V，这些标识将V的程度从5到4中降低。根部仍保持在4度。
所以现在我们有一个无限的图，其中每个顶点都有44度。与2个发电机的自由蒙湿的树不同，其中根部是与其他顶点的拓扑不同，2个发电机的自由组的树是完全均匀的。 因此，如果我们丢弃顶点标签并仅依赖于边缘标签导航，则任何顶点都可以作为组的标识。
这种均匀性仍然是2个发电机上免费的abelian组的情况，其顶点仍为44。然而，附加识别从树（没有循环的图形）转动到顶点是平面的格点的网格。 也就是说，2个发电机上的免费阿比越之组是Z2，并且在N发电机Zn上。 边缘是加入相邻晶格点的线段。
6.2免费环
没有发电机，自由的单个子，自由组和自由环是由刚性标识0组成的一个元素代数。一个具有乘法形式的标识装置的环，即单词ε。 但这使得ε为环的添加剂组发电机，并且一个发电机上的免费阿比群组是整数。 因此，没有生成器上没有发电机的自由响铃是下图的整数，现在乘法。
一个生成器X上的自由环必须通过乘法包括X2，X3等，但是可以添加和减去导致多项式，例如7x3-3x2 + 2x但没有恒定项，除了0本身。 环的分配法则意味着诸如（7×+ X2）（2x3 + x）的术语可以扩展为7×2 + x3 + 14x4 + 2x5。 现在应该清楚，这些只是普通多项式，没有恒定的术语; 特别是我们缺少零程度多项式1，因此该环没有乘法标识。 然而，即使我们没有指定这个，它也是一种换向戒指。 一个发电机上具有身份的自由响铃作为乘法标识引入1，并且自行显得普通的一个变量多项式，我们可以形成所有整数。 就像长台一样，两个发电机上具有身份的自由戒指不是换向的，多项式XY和YX截然不同。 然而，两个发电机上具有身份的自由换向环由整数上的普通的双变量多项式组成。
6.3免费组合结构
从这个例子来看，迄今为止可能得出结论，一个或多个发电机上的所有自由代数都是无限的。 这绝不是案例; 正如每个小学普利斯，我们可以指向许多类：设置，指向的集合，生物集合，图形，无向图形，布尔代数，分配格子等。这些都形成了前面定义的本地有限的品种。
尖头集是一个常数的代数，说c。 在x和y上设置的自由引点有三个元素，x，y和c。 一个有头部的组是具有两个常数C和D的代数，并且在x和y上设置的自由增长，然后有四个元素，x，y，c和d。
如图所示的面向自动数据理论的曲线图，其中多个边缘可以连接到相同的两个顶点，可以组织为具有两个联合操作的代数和满足s（s（x））= t（s（x））= s（x）和t（t（x））= s（t（x））= t（x）。 一个生成器X上的自由图具有三个元素，x，s（x）和t（x），分别构成边缘及其两个端点或顶点。 在此框架中，顶点是满足S（x）= x的元素（因此t（x）= x，因为x = s（x）= t（s（x））= t（x））; 所有其他元素都构成了边缘。 N生成器上的自由图包含N这样的边缘，全部独立。 通过识别元素来产生其他图表。 没有点识别具有另一个边缘或顶点的边缘，因为它只是将第一边缘吸收到第二实体中。 这只留下顶点; 识别两个顶点产生两个边缘的单个顶点，或者在识别S（x）= t（x）中的相同边缘创建一个自循环。
“定向”术语是优选的，因为在组合物中所理解的指导图是具有额外特性的定向图，即如果s（x）= s（y）和t（x）= t（y）则x = y; 也就是说，在给定方向的两个顶点之间仅允许一个边缘。
没有增强的图形被定义为具有满足G（g（x））= x和s（g（x））= t（g（g（g（x）））= t（g（x））的图形的图形图 x上的自由控制图包括x，s（x），t（x）和g（x），其中一对x，g（x）构成了s（x）= t（g（x））和t（x）= s（g（x））。 识别无向图形的元素适用于定向对应物：它只值得识别顶点。 然而，这里有一个有趣的扭曲：顶点可以是两种，那些满足x = g（x）和那些没有。 后一种顶点现在是不对称的：双向边缘的一个方向用其顶点识别，而另一个则在其它方向是顶点的意义上形成定向环。 对于满足“如果s（x）= s（y）和t（x）= t（y）则定义的无向图因此没有被定义为令人满意的图形，则不会出现这种现象。然后x = y。”
6.4自由逻辑结构
布尔代数传统上是公理地定义为互补的分配格子，这有利于显示它们形成多样性，并且还具有有限的公理化。 然而，布尔代数在自己的权利中是如此基础，而不是为了为此目的来定义格子，分配和补充的麻烦，从初始布尔代数中获得它们更容易和更有洞察力。 将其定义为两个元素集{0,1}，常量（零序操作）0和1，以及222 = 16二进制操作。 然后，布尔代数是任何带有这16个操作的代数和满足初始布尔代数所满足的等式的两个常数。
Boolean代数类的几乎明确的属性是初始布尔代数中的多项式是该代数上的所有操作。 捕获是，仅由一个元素或不一致的代数组成的不一致类也具有此属性。 然而，通过添加布尔代数是一致的，这类课程很容易排除。 但只是几乎没有向布尔代数添加任何新方程式（不引入新操作），公正了不一致的代数。
Sheffer已经表明，常量和16个操作可以在只有一个常数中作为多项式生成，其可以是0或1，并且可以是NAND，¬（x∧y）或NOR，¬（x∨y）的一个二进制操作。 任何此类充足的设置都称为基础。 沿着相同的线石已经表明，结合，独占或常量1形成基础。 石材基础对谢菲尔的意义是，用这些操作组织的布尔代数满足了换向戒指的所有公理，具有与乘法和独占 - 或添加的相结合，以及法律X2 = 1。 任何满足最后一个条件的戒指都被称为布尔环。 布尔环比在它们具有相同多项式的意义上相当于布尔代数。
布尔代数的原子是元素x，使得对于所有y，x∧y是x或0.无原子布尔代数是没有原子的。
所有有限功率都有2个基数的Boolean代数，它是在联合，交叉路口的设置操作下的那种基数的电力组2x的Boolean代数是同构。因此所有有限布尔代数具有基数的功率为2.这种情况随着无限布尔代数而变化; 特别是可数布尔代数存在。 一个这样的自由布尔代数在几个发电机上，这是唯一可数无误布尔代数。 自然数的集合n的有限和cofinite（补充有限组）子集形成Powerset Boolean代数2n的子晶代，没有同构到自由布尔代数，但它有原子，即单身套。
N个生成器上的免费布尔代数F（n）包括在两个元素布尔代数上的所有22n n-ary操作。 因此，布尔代数形成了局部有限的品种。
分配格子的公式理论是通过选择其操作的单调二进制操作来获得分布式的分配格理论，只能在双元素代数上的单调二进制操作，省略常量。 这些是与属性的操作，如果任一参数从0到1更改为1，结果不会从1到0更改为0.分配晶格是完全使用单调二进制操作的术语之间的那些布尔方程式的任何模型。 因此，每个布尔代数都是分配格子。
分配格子可以任意“薄” 在极端，任何链条（线性或总阶数，例如，标准订购的真实）在最大和MIN的通常操作中形成了分配格子。 由于我们省略了常量，这包括空格格子，我们在这里没有排除在这里作为代数。 （一些作者禁止空组成作为代数，但这种称谓破坏了许多良好的定理，而不获得任何有用的定理。因此，每个可能的基数都存在分配格子。
每个有限维矢量空间都是自由的，由任何选择产生。 如果我们接受首选的公理，这延伸到无限维矢量空间。 因此，当标量乘法被组织为每个字段元素的一个一定机组组织为一个局部有限的领域，因此将矢量空间形成局部有限的品种。
6.5免费代数分类
我们现在考虑如何从类别理论的角度下组织自由代数。 我们使用B的子集X生成的自由代数B为具有每个代数A和每个估值F：X→A的属性，存在独特的同性恋h：b→a。 现在，每一个同性恋h：b→a必然以这种方式出现，因为它对x的限制，作为从x到a的函数，是估值。 此外，每个功能f：x→a都是由于其扩展到同态的X的限制。 因此，我们在从X到A的功能和来自B到A的同态之间的函数之间的双射。
现在在这里打字有点随意，所以让我们清理它。 由于x是一个设置而a是代数，f更好地键入为f：x→u（a），其中U（a）表示A的基础组。并且通过表示自由的符号B = F（x）更好地理解X到B的关系由SET X生成的代数。因此，您将代数映射到设置，而F地图设置为代数。 f和你不是彼此的一般反转，但他们仍然是我们现在的方式相关的。
对于任何类别C，符号C（A，B）通常用于将来自对象A中的对象B的所有态度集合在C类别中。并且可以理解来自SET X到集合Y的所有功能的集合作为本公约的特定情况集（x，y），其中c被认为是所有集合的课程集，我们可以认为是离散的代数，即没有结构的代数。 一类代数以及其两个成员中的任何两个成员之间的指定同一性是类别的实例。 班级的成员称为类别的对象，而同性恋称为态度。
我们刚刚观察到的自动射行现在可以说明
c（f（x），一个）≅set（x，u（一））
这种双射出称为在SET和C之间的齐节。这里F：SET→C和U：C→设定分别是左右伴随这种伸展; 我们说F伴随着（或）u and，你对f伴随着伴随着。
我们只描述了F地图如何设置为代数，并且您将代数映射到设置。 然而，F还将功能映射到同态，将每个功能F映射到其独特的延伸作为同性恋，而U映射成态映射到功能，即同性恋本身作为函数。 类别之间的此类地图是仿函数的实例。
通常，C类别包括对象A，B，C和态度F：A→B，与“可协商”态态F：B→C，G：A→B产生的联想组成法以及产生态度FG：A→C. 此外，每个对象A具有标识元件1a：a→a，其在与形态f（一侧或另一侧）组成以产生f时。 函数f：c→d将c的对象映射到d的d和c的态度对d的态度，使得f（fg）= f（f）f（g）和f（1a）= 1f（a）。 也就是说，仿函数是“类别的同性态”，保留构成和身份。
没有进一步的资格，这样的类别被认为是一个抽象类别。 我们一直在使用的类别是具体的，因为它们带有给定的底层设置或健忘的仿函数U：C→Set。 也就是说，代数基于组，同态是这些组之间的某些功能，并且你简单地“忘记”代数结构。 这种健忘的仿函数是忠实的意义上，对于任何两个态度f，g：c的c，如果u（f）= u（g），那么f = g，即你不识别不同的同态。 通常，一个具体类别与一个忠诚的健忘功能U：C→Set一起定义为类别C.
类别本身承认，通过二维图的两类作为代数进一步推广，其中1细胞的联合组合物推广到2细胞的2-联合粘贴。 进一步简化了自由代数机械机械，然后通过抽象的交换作为类别中的同构的自然二维对应，这反过来是一个集合中元素平等的自然1维对应物两个点可以变成一个的0维想法。 这导致抽象的Monad的概念仅仅是一种伴随的1细胞的组成，其中一个是一种用于从V.仿作为2类别的混凝土1细胞。
