代数（二）

2.4字段

场是一个环，其中乘法圈元素是abelian组。 也就是说，乘法必须是换向的，并且每个非零元素X必须具有互换1 / x。

例子

理性的戒指，因为合理的乘法是换向的，并且每个非零Rational M / N都有互惠的n / m。

真实的环，以及复杂数字的环，有类似的原因。

A和B的形式A +b√2的数量的环是合理的，因为+ B = 2仅在A = B = 0时为零，否则互换（A-b√2）/（A2-2B2）; 称为二次非理性的领域。

整数的环ZP Modulo是Prime P的，因为乘法数量的非零数字包括一个数字G，使得GP-1 = 1且每个非零数具有用于一些整数I的形式GI，因此有一个反向，即GP-1-I。

最后一个例子不会直接概括到其他模数。 然而，对于作为主要功率Pn的任何模量，可以示出在乘法下使得环状（且因此是abelian）组的非零元素的方式存在独特的乘法，使得ZPN ZPN成为环的方式，并因此戒指是一个领域。 以这种方式构造的字段是唯一的有限字段。

2.5应用程序

为什么学习整个课程？ 嗯，考虑例如整数的集合Z以及加法x + y的二进制操作，找不到-x的一元操作，以及常量。这些操作和常数满足诸如x +（y + z）=（x + y）+ z，x + y = y +的各种规律x，x + 0 = x，x +（ - x）= 0。 现在考虑任何其他代数，不仅具有同一名称，而且还满足相同的法律（以及可能更多），称为这些法律的模型。 这样的代数可以提供以下任何一种目的。

（i）它可以告诉我们整数持有整数的公平法律的程度在一起。 由于整数Mod 2的集合{0,1}在此添加和否定时满足整数所做的所有规则，我们立即看到整数的单个实体属性没有告诉我们无数的整数。 另一方面，整数的等同理论的任何有限模型都必须满足整数不满足的一些法律，特别是法律x + x + ... + x = 0，其中左侧的Xs数量是模型的大小。 由于整数的等级理论不包含这样的法律，因此我们可以从其理论中判断整数，即整数必须是无限集。 另一方面，加法和否定下的Rational数量满足与整数完全相同的实际属性，因此该理论不表征未在添加和减法下的整数的代数，以足够的精度将其与理性区分开。

（ii）它可以为我们提供一个有用的新域，该域可以在任何应用程序中替换为整数，这取决于整数的实际属性，但这与其他（必然非Quational）有用方面不同的不同之处。 例如，根据我们刚刚注意到的，符合我们刚刚注意到的相同法律的理性，具有密度属性，在任何两个理性之间都存在另一种理性。 另一个不同之处在于它支持划分：而两个整数的比例通常不是整数，而两个理性的比例始终是一个理性的。 真实的也满足相同的方程式，并且理由是密集和支持部门的。 与理性有关的不同，真实的具有完整性属性，所以任何非空的实际情况集的所有上限都是空的或具有最小的成员，所需的收敛序列有限地收敛到。

此想法扩展到其他操作，例如乘法和划分，与字段一样。 通过在笛卡尔几何形状中使用复数来给出这种概括的特别有用的情况。 当x和y范围在实际领域，x2 + y2 = 1描述了两个维度的普通欧几里德圆，但是当变量范围内的复数范围时，该等式描述圆的复杂对应物，可视化为二维表面嵌入四个实体尺寸（关于具有两个实体尺寸的复杂平面）。 或者如果变量范围在整数MOD 7上，它在通常的算术运算操作MOD 7下形成一个字段，则圆形由八个点组成，即（±1,0），（0±1），（±2，±2）。 关于欧几里德圈的某些定理可提供纯粹代数，这些其他类型的圈子可以证明这些其他类型的圆形，因为证明所依赖的所有方程在这些其他领域继续持有，例如线条在最多两点中与圆圈相交的定理。

（iii）它可以帮助我们决定旨在公开整数的一般法律列表是否完全是在该列表中的法律中遵循的任何方程式举行的意义上。 如果某些结构满足列表中的所有公理，但不是包含整数的其他方程，那么我们就有一个证人对公理化的不完整性。 另一方面，我们可以展示如何从整数的代数构建满足公理的任何代数，限制了自己仅对某些代数结构，然后通过适用于这些建筑的Birkhoff的定理，我们可以推断公理化完成。

（iv）除了列出公理的标准方式，它可以给出一个定义类的另一种方式。 在手头的情况下，所有代数的类具有常数，一定的操作和二进制操作，满足整数满足的所有法律，正是阿比群体的类。

3.通用代数

通用代数是抽象代数后的下一级抽象。 虽然小学代数在特定代数中对待公式推理，例如特定代数，例如复杂数字的领域，以及抽象的代数研究特定的代数等代数，例如群体，环或田地，普遍代数研究课程代数类。 与其基本课程中的摘要代数组，戒指和领域一样，所以普遍代数是其基本班级中的品种，拟种和基本课程。

理论模型是该理论的所有方程都是身份的结构。 使用理论的操作从变量和常数建立术语。 等式是一对术语; 当两种术语在所有估值下（值为值的分配）的所有估值时，它是满意的，当它们表示相同的n-ary操作时，等效地等效。 quasiequation是由一个有限的方程组成的配对，称为房屋或前书，另一个方程式，结论; 当结论的两种术语在满足房屋的术语中出现的所有估值时，代数是相同的。 第一个订单公式是一种定量的布尔和关系项组合。

各种是一组方程的所有模型的类。 QuasiVarity是一组Quasiequation的所有模型的类。 初级类是一组一组第一阶公式的所有模型的类。

拟藜已经受到比品种或小学课程的关注程度不那么关注，因此我们在这里对他们几乎没有说过。 小学课程在此百科全书中的其他地方进行了足够的深度，我们不需要在这里考虑它们。 因此，我们专注于本节品种。

在给定领域的阿比海群组，群体，戒指和矢量空间全部品种。

该领域的中心结果是晶格作为某些代数的子晶格的晶格而出现的定理，如果它被当作一些代数上的同时的格子。 这种类型的格子称为代数格子。 当代数换乘的同时进行时，其同乐格是模块化的，特别是促进了有限代数的强烈条件。

3.1概念

代数形式的数量理论熟悉的定理出现了代数。 当其晶格的同时是由A和单元素代数组成的两个元素晶格来称为直接不可减少的或简单，并将素数P的概念平行为除数晶格有两个元素p的数字然而，然而，算术基本定理的对应物，即每个正整数因素作为素质的产品，需要比直销产品更精细的产品。 Birkhoff的子二维产品的概念使他能够证明分组表示定理，即每个代数都是作为其分列不可缩短的引用的子二号产物。 虽然有许多分部不可减少的组，但是唯一的分列不可缩小的布尔代数是初始或两个元素，而满足XN = x的分组不可缩短的环是恰好的有限田地。

另一个核心主题是二元性：布尔代数是双向石头空间的，完整的原子布尔代数是双重设置的，顶部和底部的分配格子是双脚排序的组，代数格子是双脚的半理由等。 二元性提供了两种查看代数的方法，其中一个可以变得更加富有洞察力或更容易，而不是根据应用程序使用。

品种作为一些等级理论的所有模型的类别也非常兴趣。 该领域的最早结果是Birkhoff的定理，即唯一的代数是繁多的，如果它在形成引号（同态图像），亚级曲线和任意（包括空和无限）的直接产品中闭合。 这种“现代代数”结果在其模型方面构成了等式逻辑的完整性定理。 其基本的对应物是定理的定理，定义为使用来自v的变量的减扣性的封闭式等式，是其替代的同时。

局部有限的变化是有限的自由代数的局部有限的自由代数，例如尖头组，图（无论是指向的或无链条）和分配格子。 一致传统品种是各种各样的代数都是不可能的。 Maltsev在其理论上的必要和充分条件方面表征了这些，即f（3）包含一个操作t（x，y，z），其中t（x，x，y）= t（y，x，x）= y在理论中。 类似的概念是一致性分配和同致模块化，其中存在类似的代数品种与这些性质的类似句法表征。 该区域的最近开发的电动工具是McKenzie的驯服概念的概念，促进了有限代数结构的研究。

在代数学校内，已经通过了解签名的操作来定义品种。 类别理论的见解，特别是作为MONAD的品种的表达，被定义为C类别CC类别中的CC中的核心子对象（在普通通用代数的情况下设置）表明当操作可以形成时获得更清洁和更一般的概念一个适当的课程。 例如，完整的半理解，CSLAT和完整原子布尔代数，Caba，只有这种更广泛的签名概念的重要组。 在狭窄的代数感的品种感觉中，各种各样的双重可能永远不会是各种各样的，而在更广泛的单数概念的变化中，各种套装套是双到卡巴的，而CSLAT是自我双重的。

3.2公式逻辑

公理系统。 标识也可以用于将方程转换为等效方程。 当这些等式本身是某些域的标识时，它们被转换为该域的仍然是标识的。 因此，人们可以从一些有限的身份开始，并从中制造无限数量的新标识。

例如，如果我们从只有两个身份（x + y）+ z = x +（y + z）和x + y = y + x开始，我们可以通过以下一系列转换获得标识（w + x）+（y + z）=（x + z）。

（w + x）+（y + z）=（（w + x）+ y）+ z =（w +（x + y））+ z =（w +（y + x））+ z =（（w + y）+ x）+ z =（w + y）+（x + z）

从旧的旧身份制造新身份的过程称为扣除。 可以通过从给定的集合A开始的扣除可以产生的任何身份称为A的后果。一套A的所有后果被称为A的演绎闭合。我们将A称为其演绎封闭的公理化。 据说一个是它自己的演绎关闭的集合被扣除了。 如果且仅当它是某些集合的演绎关闭，则表明只有在Defuctive闭合时，它很简单。

作证理论是一种减少的一组方程，同等地是一些设定方程的所有后果的集合。 每个理论始终都具有自己的公理化，但通常也会具有较小的公理化。 据说具有有限公理化的理论是基于或有限的公开性的。

有效性。 可以有效地列举有限基础的理论。 也就是说，给定方程的有限组A可以编写一个计算机程序，该计算机程序以这样的方式打印A的后果，即每个后果在所有后果的无限列表中的某些有限位置都会出现。 当我们削弱了一个有限的情况时，得出同样的结论就可以有效地列举。 也就是说，如果公理化有效令人令人令人令人令人令人令人市应，这是其演绎封闭。

（请记住，重新调整有限，请记住，如果我们列出所有自然数0,1,2，......按顺序列出，我们获得了一个无限列表，每个成员都是从头开始的，并且还有一个明确定义的前身（0）和后续的

可视化存在更多元素的一种方法，这些元素超出它是在越来越多的顺序中考虑所有非零整数n的表单1 / n的律。 此列表启动--1 / 1，-1 / 2，-1 / 3，以及在列出这些形式的绝对负面理性之后，没有最大的这样，转换为积极的理性，没有第一个这样的，最后以1/3,1 / 2结尾，1/1。 除了端点-1/1和1/1之外的每个Rational中，整个列表都是离散的，除了端点-1/1和1/1中有一个明确定义的前身和继任者，与在该理由的这个子集中，与所有理性的所有理性之间的情况不同-1/1和1/1。 如果我们在中间的理性0“中”将不再是这种情况，这既不是前身也没有继承者。）

公正逻辑。 我们的非正式账户可以根据五项制作新身份的五项规则正式化。 在下文中，S和T表示任意术语。

（R1）从什么时候从s = t推断出来t = s。（r3）从s = t和t = U推断出s = u。（r4）从s1 = t1，s2 = t2，...，sn = tn推断f（s1，S2，...，Sn）= f（t1，t2，...，tn），其中f是n-ary操作。（r5）来自s = t推断的s'= t'，其中s'和t'是由s中始终如一地代替s的变量术语的术语。和t分别。

在这种情况下，“始终如一地”意味着如果术语代替给定变量的一次发生，则必须替换在S和T中的所有变量的所有发生的术语。 例如，我们不能仅吸引R5，以证明X + Y = Y + X的左侧X的X代理X和右侧X的x，尽管其他一些规则可能允许它。

作为一组术语成对的一组术语对所有术语集的二元关系。 规则R1-R3对应于该二进制关系的分别反射性，对称性和传递性，即，这三个规则断言等同于等价关系。 规则R4表达了这种二进制关系是一致的进一步财产。 规则R5进一步断言关系是替代的一致。 可以表明，如果它是替代的一致性，则该组术语上的二进制关系是等于的。 因此，这五条规则在这种意义上完全公开了公式逻辑，即可以通过这些五种规则的许多应用来源通过AS等方程的所有结果产生的。

3.3 Birkhoff的定理

多样性是根据定义一些等式理论的模型。 1935年，Birkhoff提供了品种等同的品种表征，因为任何类都闭合在配套（同级形象），直接产品和亚峰宫内。 这些概念定义如下。

给定两个代数（x，f1，... fk）和（y，g1，... gk），同性恋h：（x，f1，... fk）→（y，g1，... gk）是满足h的函数h：x→y（fi（x0，...，xni-1））= gi（h（x0），...，h（xni-1）），每个I I从1到k到k，其中ni是fi和gi的arity。

代数的子晶代布拉是代数在代数的操作下封闭的代数的一组元素。

让我成为一个任意集，它可能是空的，有限的或无限的。 由我索引的代数（xi，fi1，...，fik）的一个家庭⟨ai⟩i∈i是由我索引的一个代数ai，为我的每个元素I.我们定义了这样一个家庭的直接产品πai（或πi∈iai）如下。

πai的底层组是底层集的笛卡尔·产品πxi，由那些i-th元素是xi的一些元素组成的。 （我甚至可能是不可数的，但在这种情况下，由于个人XI的非重点的结果，Πxi的非记忆相当于选择的公理。这应该牢记Birkhoff的定理的任何建设性应用。）

ARITY NJ的Πai的第j次操作采用πxi元素的NJ-T元组T，并产生I-⟨fij（ti1，... tinj）⟩i∈i，其中tik是k-th的第i个组成部分t的组件为k从1到nj。

给定两个代数A，B和同态H：A→B，同态图像H（A）是A的亚峰（A）的子晶段由A中的H（a）的元素组成。

给定代数的C类，我们为所有代数的类别写作P（c），形成为c，s（c）的代数的直接产品，用于C的类别的所有子晶段的类别的类别的类别的类别的类别，以及为班级的H（c）所有C的代数的所有同种形象

它相对简单，表明通过P（c），s（c）和h（c）的所有成员也满足C的所有成员满足的任何等式。 因此，对于品种v，p（v）= s（v）= h（v）。

Birkhoff的定理是匡威：对于任何类C，这样P（c）= s（c）= h（c），c是各种各样的。 实际上定理略高：对于任何C类，HSP（C）是各种各样的。 也就是说，为了构建C理论的所有模型，它足以在直接产品下首先关闭C，然后在亚级晶片下，最后在同态图像下; 也就是说，后面的封闭物不会损害前面提供的P，S和H以此顺序执行。

Birkhoff的定理的基本应用是证明了C的拟议公理化的完整性。给定了一个任意模型，表明该模型可以构造为a的同态图像C的直接产物的子晶代。

这种完整性技术补充了前一节中观察到的公式逻辑规则的完整性。