教堂的理论（三）_数学联邦政治世界观()

并非所有帧都属于解释，而不是所有的解释都是一般模型。为了成为一般模型，解释必须具有满足某些闭合条件的帧，其在安德鲁斯1972b中进一步讨论。基本上，在一般模型中，每个WFF必须具有关于每个分配的值。

据说模型是有限的IFF其个体领域是有限的。 �0的每个有限型号是标准的（Andrews 2002，定理5404），但每组�0句话，具有无限型号的χ0句也具有非标准模型（Andrews2002，定理5506）。

理解标准和非标准模型之间的区别可以澄清许多现象。例如，可以说明有一个模型�= {��}�，�⟩，其中��是无限的，并且所有域��都是可数的。因此，��和��都可以是无限的，所以它们之间必须有一个击倒h。然而，陈列司的定理（其在型理论中可提供，因此在所有型号中有效）说，��具有比成员更多的子集。这个看似矛盾的情况被称为Skolem的悖论。它可以通过在Cantor的定理中仔细观察，即，〜~∃��∀��∃��[��=��]来解决，并考虑在模型中意味着什么。定理表明，没有功能�∈��到��中，其范围内的每个设置��∈��。对该陈述的通常解释是��更大（基数）比��更大。但是，它在这个模型中实际意味着什么是H不能在��中。当然，�必须是非标准的。

虽然在所有标准型号中所谓的首选原理可能是真实的，但是�0的非标准模型，其中ac�是假（Andrews 1972b）。因此，ac�在χ0中不可提供。

到目前为止，教会类型理论的模型理论的调查远远不如一阶逻辑广泛。尽管如此，有一些关于构建非标准模型的方法和模型的方法，其中各种形式的扩展性失败，具有任意（可能不完整）逻辑常数集的理论的模型以及开发建立各种系统系统完整性的一般方法关于各类模型。相关文件包括安德鲁斯1971,1972A，B和Henkin 1975.在Benzmüller等人可以找到相关的工作。 2004年，Brown 2004,2007和Muskens 2007。

3.骚乱

3.1λ转换

第1.3.1节中的前三项推断规则称为λ转换规则。如果�和�是wffs，我们写信�conv表示�可以通过这些规则的应用转换为�。这是WFFS之间的等效关系。 WFF�处于β-正常形式IFF中，它没有形成的良好部分[[��]��]。每个WFF都是β-正常形式的一个敞开的WFF。实际上，WFF的每种收缩序列（规则2的应用，根据必要的与必要的相结合）是有限的; 显然，如果不能延长这样的序列，它终止于β-正常形式的WFF。（这被称为强烈的正常化定理。）由教堂 - rosser定理，这个WFF在β-normal形式中是绑定变量的独特模型字母变化。对于每个WFF�我们用β-正常形式的第一个WFF（在某些枚举中）表示，使得conv↓。然后�conv如果才能且仅在↓�=↓�。

通过使用扩展性的公理，可以获得以下推导的推断规则：

�收缩。替换WFF的良好形成的部分[��[��]]��，提供��不会在��中自由发生。

此规则及其逆（称为�-扩展）有时被用作λ-转换的附加规则。参见教堂1941，Stenlund 1972，Barendregt 1984和Barendregt等人。 2013有关λ转换的更多信息。

值得一提（再次）λ - 抽象取代了教会类型理论中对理解公理的需求。

3.2高阶统一

非常简单地概述了高阶统一的挑战。有关该主题的更多细节在Dowek 2001中给出; 它在Benzmüller＆米勒2014年讨论了其在高阶定理普罗瓦尔的利用。

定义。对于一对的一个高阶的联合机，WFF的�⟩是一种替换�，用于自由出现的变量，使得��和��具有相同的β正常形式。对于一组WFF的一个高阶uniber是集合中每个对的uniber。

在许多重要方面，高阶统一与一阶统一（Baader＆Snyder 2001）不同。特别是：

即使存在一对WFF的界面，也可能没有一个最普遍的联合机构（GOULD 1966）。

高阶统一是未定定的（HUET 1973B），即使在“二阶”案例中（GoldFarb 1981）。

但是，已经设计了一种算法（Huet 1975，Jensen＆Pietrzykowski 1976），称为预统一，如果存在，这将找到一组WFF的组织习惯者。 Hyet程序计算的unifiers是可以将原始统一问题的替换机减少到仅涉及所谓的Flex-Flex Unifigation对。 Flex-Flex对在两个术语中都有可变的头符号统一，并且已知它们始终具有解决方案。因此，可以推迟或省略这些解决方案的具体计算。在第4节中提到的所有基于分辨率定理普通的定理普通的预统一中使用了预统一性。

模式统一是指小统一问题的小组，首先由米勒1991研究，其识别对于建设实用系统至关重要。在模式统一问题中，存在存在量化的变量的每次出现都将应用于所有不同变量的参数列表，这些参数是由存在量化的范围内的λ-粘合剂或通用量化界定的所有不同变量。因此，存在量化的变量不能应用于一般术语，而是一种非常受限制的结合变量集。模式统一，如一阶统一，是可判定的，最普遍的统一者存在可解决问题。这就是为什么在教会类型理论的某些最先进的定理普通中，优选地使用模式统一（适用）。

3.3统一原则

统一原则是在粉刷1963中引入的（另见粉碎1995）作为一种以统一方式导出关于一阶逻辑的许多基本Metathems的工具。 Andrews（1971）的原则延伸到基本类型理论，并扩展型理论，即Henkin的一般语义，没有描述或选择，由Benzmüller，Brown和Kohlhase（2004）。我们在下面更多详细信息概述了这些扩展。

3.3.1基本类型理论

统一原则通过在1967年在高山卓应用思路延伸到安德鲁斯1971年的基本型理论（第1.3.2节第1.3.2节）。这种统一原则已被用来在安德鲁斯的�中建立cut淘汰1971年Huet 1973a，Kohlhase 1995和Miller 1983中的各种系统的完整性证明。我们首先给出一个定义，然后说明原则。

定义。有限组wffs�的属性γ是一个抽象的一致性属性IFF用于WFFS的所有有限套装，以下属性保持（适用于所有WFFS A，B）：

如果γ（�），则没有原子�，使得�∈�和[〜~�]∈�。

如果γ（�∪{}），则γ（�∪↓�}）。

如果γ（�∪{~~}），则γ（�∪{�}）。

如果γ（�∪{�∨�}），则γ（�∪{�}）或γ（�∪{�}）。

如果γ（�∪{〜[�∨�]}），那么γ（�∪{〜〜，〜~�}）。

如果γ（�∪{π（��）��}），则每个wff��γ（�∪{π（π�）��，��}）。

如果γ（�∪{〜π-（��）��}），那么γ（�∪{〜}），对于任何变量或参数��，不会在��或任何wff中自由发生。

请注意，一致性是一个抽象的一致性属性。

统一原则�。如果γ是抽象的一致性和γ（�），则�是�。

这是统一原则的典型应用。假设有一个程序�可以用来反驳一组句子，我们希望显示它是完整的�。对于任何一组句子，让γ（�）意味着�不反驳�，并且显示γ是抽象的一致性属性。现在假设�是�的定理。然后{〜〜}在�中不一致，所以通过统一原理而不是γ（{〜}），所以{〜〜}由�反驳。

3.3.2扩展类型理论

自九十年代以来，研究了与一般语义的教会类型理论的上述统一原则的延伸。主要动机是支持（反驳）为新兴高阶自动定理普通的证据计算的完整性调查（见下文第4节）。最初的兴趣是教会类型理论的片段，称为扩展类型理论，包括扩展性公理，但排除�（�（��））和它的公理（在自动定理普通在自动定理普遍忽视时间）。类似于之前，在具有定义平等的延伸型理论之间进行了区分（如在1.2.1节中，通过Leibniz原理定义的平等定义）和具有基元平等的延伸类型理论（例如，系统�0，如1.4节中，或者，或者，基于逻辑常数〜（��），ψ（（��）�）和π（�（��））的系统，如1.2.1节，但是附加原始逻辑常数=��添加）。

在Kohlhase 1993中介绍了具有原始平等的延伸类型理论的统一原理的第一次尝试。随后修改并补充如下：

为了获得具有定义平等的扩展类型理论的统一原则，Benzmüller＆kohlhase 1997增加了以下条件的布尔的扩展性，功能扩展性和饱和度至上述条件1.-7。对于�（他们的演讲已经在这里调整;出于技术原因，它们还采用稍微较强的条件变体2.基于β-转换而不是β-标准化）：

如果γ（�∪{= =��}），则γ（�∪{��，��}）或γ（�∪{〜~��，〜~��}）

如果γ（�∪{=��}），那么任何参数��的γ（�∪{= =��}）不会在�中没有。

γ（�∪{��}）或γ（�∪{~��}）

饱和条件10.需要正确建立原理。然而，由于这种情况与裁切的证明理论概念有关，因此它限制了原理原理的实用性，以正确的机器导向的计算。然而，该原则在Benzmüller＆kohlhase 1998a和benzmüller1999a，b中用于获得一个延长高阶分辨率系统的完整性证据。该原理也适用于Kohlhase 1998，以研究相关的延伸高阶Tableau微积分的完整性，[2]分别从Benzmüller和Kohlhase 1998A调整了Leibniz平等的扩展性规则Benzmüller1997。

在Benzmüller1999A中介绍了在Benzmüller（在该工作中，除〜（��），∨（（��）�）除〜（（��）�）外，使用了与原始平等的统一类型理论的统一类型理论π（�（��））的;在高阶定理普罗维尔人中，这种冗余选择并不罕见）。一种选择是引入反射性和替代性条件。替代方案是将反射性条件与连接原始的条件结合，以定义的平等，从而遵循替代率条件。请注意，基于Leibniz原理引入定义的平等概念是，当然，在此上下文中仍然可能（定义的平等在本节的其余部分中表示，以便正确地将其与原始平等=）=）：

不γ（�∪{〜[��=��]}）

如果γ（�∪{��=��}），则γ（�∪{��≐��}）

γ（�∪{��}）或γ（�∪{~��}）

饱和条件10.仍然必须与其考虑的选项无关。该原则在Benzmüller1999a，b中应用了宽松的高阶rue分辨率的完整性[3]微积分，基础是高阶自动定理普罗伊·莱奥及其继承者leo-II。

在Benzmüller等。 2004原理以一种非常一般的方式提出，这允许各种可能性有关在基本类型理论和延伸类型理论之间的范围内的扩展性和平等的各种可能性。应用原理以获得相关的自然扣除计算范围的完整性证明。在这项工作中仍然使用饱和条件。

基于Brown（2004年，2007年）论文的见解，在Benzmüller，Brown和Kohlhase 2009中介绍了两种较弱条件下取代不希望的饱和条件的解决方案; 这项工作还进一步研究了饱和度和切割之间的关系。两个较弱的条件，称为交配和分解，比机器导向的结石的完整性证明更容易展示。它们（省略了第二个和滥用符号中的某些类型信息）：

如果原子为γ（�∪{〜~��，��}），则γ（�∪{〜[��≐��]}）

如果γ（�∪{〜[ℎ��≐ℎ��--]}），其中head符号ℎ��-是一个参数，则存在γ（1≤�≤�），使得γ（�∪{〜[��≐��]}）。

改进的原理适用于Benzmüller等。 2009年显示了具有定义平等的延伸类型理论的顺序微积分的完整性。

呈现和使用具有原始平等的扩展型理论的进一步扩展统一原理，并用于背部＆Brown 2011，以证明包含所选择的公理的Tableau微积分的完整性。

在斯蒂姆2018年也介绍和研究了密切相关和进一步的简化原则，其中申请显示底层普罗伊奥·伊科 - III的发挥性微积分的完整性（Steen＆Benzmüller2018,2021）。

3.4切割消除和切割模拟

教会类型理论的削减消除证据（另见证明理论上的证明理论）通常与此类证明（Takahashi 1967,1970; Prawitz 1968; Mints 1999）进行了密切相关的类型理论，可以找到Andrews 1971年，Dowek＆Werner 2003和Brown 2004.在Benzmüller等。 2009年显示了某些wffs�，例如扩展性的公理，描述，选择（参见1.3.3至1.3.5节）和诱导可用于证明基本类型理论的无切除序列结石中的切口。此外，在该工作中介绍了切割模拟和切割强度的公理的概念，并且需要省略定义的平等和消除机器化计算中的剪切强度，例如在机机的结石中的扩展性，描述，选择和感应等平等的基础（例如，用更受约束的目标定向规则替换它们以减少切割模拟效果作为高阶自动定理证明的主要挑战。换句话说，包括在教会类型理论的机器导向的证据微积分中包括切割强度的公理基本上与包括削减规则一样糟糕，因为切割规则可以被它们模仿。

3.5扩展证明

扩展证明是一阶逻辑定理的Herbrand扩展的概念的概念; 它提供了定理与TA文化学之间的关系的非常优雅，简洁和非冗余的表示，其可以通过适当的量子实例化而可以从其获得，并且这是定理的各种证据来实现的。 Miller（1987）证明了WFF�是基本类型理论的定理，如果�具有扩展证明。

在布朗2004和2007中，这一概念是广泛的扩展证明，以获得涉及与扩展性型理论的类似定理。

3.6决策问题

由于类型理论包括一阶逻辑，因此毫无疑问，大多数类型理论的系统都是不可行的。但是，可以寻找决策问题的可解决特殊情况。例如，通过添加到χ0所获得的额外公理∀��∀��[��=��]而获得的系统�01是可解除的。

虽然基本类型理论的系统�类似于在某些方面的一阶逻辑，但它是一个相当复杂的语言，并且在大多数情况下，�似乎是棘手的特殊情况。有关这一决策问题的一些非常特殊情况的信息可以在安德鲁斯1974年找到，我们现在总结了这一点。

形式的WFF∃�1......∃��[�=�]是�iff的定理，有一个替代�，使得��conv。特别是，⊢�=�iff conv，它解决了表单的WFF的决策问题[�=�]。当然，当扩展性的公理加入到�时，唯一的平等公式的情况急剧变化。 ⊢∃��[�=�] iff有一个wff��，使得⊢[��[�=�]��，但表单的WFF类别的决策问题是无法解决的。

形式的WFF∀�1...∀��，其中�是无量词的，可在�iff↓中提供太正符。另一方面，∃��的WFF的决策问题是可以无法解决的。（相比之下，已知具有功能符号的一阶逻辑中的相应决策问题是可解决的（Maslov 1967）。）由于可以始终介绍无关或空虚量词，这表明�的唯一可解变的WFF在Prenex正常形式，仅通过前缀的结构定义，其中没有出现任何存在量子的量。

4.自动化

4.1面向机面向的证明结石

近年来，教会型理论的面向机定向的证据计算的发展分别改善了; 参见，例如，基于叠加的基于Calculi的引用。挑战显然比一阶逻辑大得多。教会类型理论的术语语言的实践方式更具表现力的性质导致比一阶逻辑的横向证据搜索空间更大，丛生更宽敞，更难以遍历。此外，请记住，统一，这构成了一阶定理证明的一个非常重要的控制和滤波机制，在理论中不可确定（一般）; 请参阅第3.2节。然而，在积极的方面，有机会在一阶逻辑中找到明显较短的证据。这很好地用Boolecos 1987中的一个小，具体的例子，它现在似乎全自动证明（Benzmüller等，2023）。

显然，需要进一步进展，以进一步利用现有的Carchuli对教会类型理论及其实施的实际相关性（参见第4.3节）。挑战包括

适当处理教会类型理论的非法性性质（通常不能在完整的证明程序中避免某种形式的盲目猜测，但必须是聪明的指导），

消除/减少剪模效果（参见第3.4节）由定义的平等或切割强度的公理（例如，在搜索空间中的扩展性，描述，选择，诱导）引起的，

统一的一般不可逃号，使其成为控制证明搜索的相当有问题的过滤机制，

用于遍历搜索空间的合适启发式的发明，

提供合适的术语排序及其在重写程序中的有效剥削，

和高效的数据结构与强大的技术支持与基本操作的强大技术支持，如λ转换，替换和重写。

计划计划本文未来版本进一步详细阐述了教会类型理论的面向机器的证明计算。但是，我们只提供了对感兴趣读者的历史和最新参考的选择（另见下文第5节）：

Sequent Calculi：Schütte1960; Takahashi 1970; Takeuti 1987; 薄荷糖1999; 布朗2004年，2007年; Benzmüller等。 2009。

交配方法：安德鲁斯1981; Bibel 1981; Bishop 1999。

解决方案Calculi：Andrews 1971; hyet 1973a; Jensen＆Pietrzykowski 1976; Benzmüller1997,1999A; Benzmüller＆kohlhase 1998a。

Tableau方法：Kohlhase [4] 1995,1998; 布朗＆斯斯卡2010; 背部和布朗2011。