教堂的理论(二)
示例5假设我们省略WFF的定义中类型符号的使用。 然后我们可以编写公式��~〜[��],我们将呼叫R.它可以被视为表示所有集合x的集合,使得X不在x中。 然后,我们可以考虑公式[r r],表达了r本身的断言。 我们可以清楚地证明[r r]≡[[��~〜[��]] r],所以通过λ转换我们可以得出[r]≡~= [r r],这是一个矛盾。 这是罗素的悖论。 拉塞尔发现了这个悖论(Russell 1903,101-107)在类型理论的发展中起着至关重要的作用。 当然,当存在类型符号时,R不是很好地形成的,不能导出矛盾。
1.3原理和推论规则
1.3.1推理规则
绑定变量的字母变化(�转换)。 要替换WFF的任何形成的部件�����,请通过���sub(��,��,��),条件是��不发生在��和��中不受约束。
β-收缩。 为了用Sub(��,��,��)替换WFF的任何形成的部分[�����]��,条件是��的结合变量不同于��和从自由变量的��。
β-扩张。 通过单一应用β-收缩来推断出从�中推断出�。
替代。 从�(��)��,推断出�(��)��,规定��不是�(��)的自由变量。
modus ponens。 从[��⊃��]和��,推断出��。
概括。 从�(��)��到推断π�(��)�(��),条件是��不是自由变量的�(��)。
1.3.2基本类型理论
我们首先列出了您将呼叫基本类型理论的原理。
(素e1)[��∨��]⊃��(e2的)��⊃[��∨��](的e3)[��∨��]⊃[��∨��](e4)[��⊃��]⊃[[��∨��]⊃[��∨��]](e5�)π�(��)�(��)⊃�(��)��(e6�)∀��[��∨�(��)��]⊃[��∨π�(��)�(��)]
基本类型理论的定理是使用推理规则,来自公理(E1) - (e6�)(对于所有类型符号�)来源的定理。 我们有时会将基本类型理论称为�。 它体现了在理论的背景下的命题连接,量子和λ-转换的逻辑。
为了说明上面介绍的规则和公理,我们在�中给出了短暂而琐碎的证据。 在证明的每个WFF之后,我们表示如何推断出它。 (证明实际上非常效率低,因为稍后未使用第3行,并且线7可以直接从第5行导出而不使用第6行。已插入附加的证明线以说明一些相关方面。为了可读性,从公式中删除了许多括号在这个证明中。勤奋的读者应该能够恢复它们。)
ββαβ1.∀��[��∨�����]⊃[��∨π�(��)���] Axiom6�2。[��∨π�[∀��[��∨�����]⊃[��∨π�]]]���β膨胀:13.π�(α(��))[����[��∨�����[��∨�����]⊃[��∨π�(��)���]]]概括:24。[��∨π�[∀��[��∨�����]⊃[��∨π�]替代:25.- [��∨[��������]��]β-收缩:46.- [��∨] [��������]α-转化:57.∀��[��∨�����]⊃[��∨π�(��)[��������]]β-收缩:6
请注意,第3行可以写为
3'.∀���[∀��[��∨�����]⊃[��∨[∀�������]]]
和第7行可以写成
7'.∀��[��∨�����]⊃[��∨∀�������]
因此,我们得到了众所周知的量化理论规律。 我们通过考虑牧场主在畜栏和叶子中的夜晚将一些马匹放在畜栏和叶子中,对第7行'WFF(其与Axiom E6密切相关)的一个可能的解释。 后来,他不记得他是否关闭了畜栏的门。 在反映这种情况时,他得出结论,可以在第7行中表达,如果我们将马匹拿出�的元素,解释��是指“门被关闭”,并解释���所以�����断言“��留下畜栏”。 通过这种解释,第7行“说
如果闭门的每匹马都是真的,或者马离开了畜栏,那么门被关闭或每匹马离开了畜栏。
对于上面列出的公理,我们将下面的公理添加以获得教会类型理论。
1.3.3的扩展原理
布尔和功能扩展性的原理如下:
(7�)[��≡��]⊃��=��(7��)∀��[�����=�����]⊃���=���
教堂在1940年教会的公理列表中没有包括Axiom7�,但他提到包括包括它的可能性。 Henkin在Henkin 1950中包括它。
1.3.4描述
表达
∃1����
代表
[����∃��[�����∧∀��[�����⊃��=��]]] [�����]
例如,
∃1�������
代表
[����∃��[�����∧∀��[�����⊃��=��]]] [��������]
通过λ转换,这相当于
∃��[[��������]��∧∀��[[��������]��⊃��=��]]
通过λ转换减少
∃��[�����∧∀��[�����⊃��=��]]
这声明了有一个具有属性的唯一元素。 从这个例子来看,我们可以看到一般来说,∃1����表示断言“有一个独特的��这样的��”。
当有一个唯一的这样的元素��时,具有符号的方便ιι����表示表达“��”。 Russell在Whitehead&Russell 1927B中显示了如何在他对理论的制定中提供这些符号的上下文定义。 在教堂的类型的理论中,ιι����被定义为��(��)[�����]。 因此,ιι的行为类似于可变绑定操作员,但是借助于逻辑常数��(��)的λ定义。 因此,λ仍然是所需的唯一可变绑定运算符。
由于��描述��,��(��)称为描述运算符。 与此表示法相关联如下:
描述的公理:
(8�)∃1��[�����]⊃���[��(��)���]
这表明,当设置���具有唯一的成员时,那么��(��)���是���,因此是那个唯一的成员。 因此,此Axiom断言��(��)将一个元素集映射到其独特的成员。
如果来自某些假设,则可以证明
∃1����
然后使用Axiom8�一个人可以推导
[�����] [��(��)[�����]]
也可以写成
ι[�����] [ι����]
我们用小示例说明了描述操作员的有用性。 假设我们已经正式化了实际数字,我们的理论具有常数1�和×���,分别表示数字1和乘法函数。 (这里�是实数的类型。)表示乘法反函数,我们可以定义WFFinv��作为
ι���ι��[×�������=1�]
当然,在传统的数学符号中,我们不会写入符号,我们将写×�������作为�×�并写入inv���作为�-1。 因此,�-1被定义为x使得�×= 1。 当z被剥夺而不是0时,我们将能够证明∃1��=1�]和�×�-1 = 1,但如果我们无法建立z不是0,那么�-1的内容都没有任何重要意义。
1.3.5首选公理
Church的类型理论中的首选公理可以如下:
(9�)∃�������⊃���[��(��)���]
(9�)说,选择功能��(��)从每个非空的集合选择���一个元素,指定为��(��)���,其集合。 当选择的首选的这种形式包括在公理列表中时,��(��)被称为选择操作员而不是描述操作员,并且在存在一些这样的元件时表示“an”表示“��”。 这些选择运营商与希尔伯特的�操作员(希尔伯特1928)具有相同的含义。 然而,我们在这里为每种类型α提供一个这样的操作员。
在ιι����的情况下,呼叫ιι是一个明确的描述运算符,其中ιι����是指“��”,并且在ιι����表示“��”的情况下将其称为无限的描述运算符。
显然,选择的公理意味着描述的公理,但是使用类型理论的制剂,其包括描述的公理,但不是所选的公理。
另一个首选公理的制定只是断言选择功能的存在,而无需明确命名它:
(ac�)∃��(��)∀���[∃�������⊃���[��(��)���]]
通常,当一个人假设类型理论中的首选公理时,假设它是一个AxioM模式,并且为每个类型符号α断言ac�。 类似的言论适用于扩展性和描述的公理。 然而,教堂类型理论的现代证明系统,即,基于分辨率,实际上避免了这样的公理结构,其原因是在下面的第3.4和4节中进一步解释。 他们使用更受限制的目标定向证明规则。
在进行之前,我们需要介绍一些术语。 �0是教堂类型理论的替代制剂,其将在第1.4节中描述,并且等同于使用公理(1) - (8)上面描述的系统。 如果在其上发生的唯一符号是�和括号,则为一个类型符号是命题。
Yasuhara(1975)定义了类型之间的关系“≥”作为最小关系的反复传递闭合,使得(��)≥�和(��)≥�。 他成立了:
如果�≥�,那么�0⊢。
给定类型的类型,其中一个是命题的,存在χ0的模型,其中ac�仅当�≥�在S中的某些β时失败。
因此,存在“较高”类型的选择功能,因此需要为“较低”类型的选择功能存在,但通常不如情况。
Büchi(1953)表明,虽然表达首选的公理和棘轮的引理的模式可以彼此衍生,所涉及的特定类型之间的关系是复杂的。
1.3.6无限远的原理
人们可以定义类型理论中的自然数(以及因此其他基本数学结构,例如实际和复数),但证明它们具有所需的特性(例如Peano的假设),需要一个无限远的公理。 这种公理有许多可行的可能性,例如在教堂1940年讨论的那些,1956年教堂第57节,以及安德鲁斯2002的第60节。
1.4基于平等的制定
在1.2.1,〜(��),△((��)�)中,π(�(�))被视为原始常数,并且在这些方面定制了α型α的平等关系的WFFS����。 我们现在提出了一种教会类型理论的替代制定χ0,其中有原始常数����表示平等,〜(��),∨((��)�),π(�(��))定义����。
Tarski(1923)指出,在高阶逻辑的背景下,可以在逻辑等价和量子方面定义命题连接。 Quine(1956)展示了如何在教会类型理论的背景下的平等和抽象算子λ来定义衡量器和连接。 Henkin(1963)重新发现了这些定义,并根据平等的平等制定了教会类型理论的制定,其中他限制了所谓的类型。 安德鲁斯(1963)简化了该系统的公理。
�0基于这些想法,并且可以相当于使用前一节的公理(1) - (8)的教堂类型理论的配方。 因此,该部分提供了前一节中的材料的替代方案1.2.1-1.3.4。 有关�0的更多详细信息,请在Andrews 2002中找到。
1.4.1定义
类型符号,不正确的符号和�0的变量如1.2.1节中定义。
χ0的逻辑常数是�((��)�)和�(为每个类型符号α)。
χ0的WFF定义为1.2.1节。
缩写:
��=��代表��������
��≡��代表����a�b�
��代表����=����
��代表[�����] = [�����]
π�(��)代表��(��)(��)[�����]
∀���代表π�(��)[����]
∧���代表������[[�����[��������]] = [�����[��������]]]
��∧��代表∧�������
〜~��代表������
��表示真相。 在1.1节中讨论了π�(��)的含义。 要了解π�(��)的定义是合适的,请注意,����分别表示α的所有元素的集合,π(��)���分别用于[����] =���。 因此,π�(��)���断言���是α型α的所有元素的集合,所以���包含α型的所有元素。 可以看出,��也可以写作∀����,这尖叫着一切都是真的。 这是假的,所以♥表示虚假。 表达式�����[��������]可用于表示有序对⟨��,��⟩,并且结合��∧��真实的iff��和��均为真,即iff⟨��,��⟩=⟨��,��⟩。 因此��∧��可以用公式[�����[��������]] = [�����[��������]]。
易于定义其他命题连接,例如∨,⊃和存在量∃。 通过使用�(�(��)),可以为所有类型α定义描述运算符��(��)。
1.4.2原理和推理规则
�0具有单一的推理规则。
规则R:来自�和��=��,通过发生ψ的replacing in replacing in�的结果。
�0的公理如下:
(Q1)[�����∧�����] =∀��[�����](q2�)[= =��]提供��的子离(��,��,��),在��(q5)��(��)[������] =��the公理中的附加条件(Q4)确保替换不会导致绑定的自由变量在替代的结果。
2.语义
将类型理论的语义与一阶逻辑的语义进行比较是自然的,其中定理正是在所有解释中有效的WFF。 从直观的角度来看,类型理论的自然解释是标准模型,如下所示。 然而,这是Gödel的不完整定理(Gödel1931)的结果,即公理(1) - (9)不足以推导出所有标准模型有效的所有WFF,并且递归没有一致这些公理的公理延伸,这足以实现此目的。 尽管如此,经验表明,这些公理足以满足大多数目的,而Leon Henkin认为他们完全澄清的问题。 下面的定义和定理构成了Henkin(1950)解决这个问题的解决方案,通常被称为一般语义或Henkin语义。
一个帧是非空域的集合{��}�,一个用于每个类型符号α的α,使得��= {�,�}(其中�表示真相和�表示误报),并且���是一些函数集合映射��进入��。 ��的成员称为个人。
解释⟨{��}�,�⟩由帧和函数�映射到α的每个常数c映射到ψ的适当元素,该元素称为c的表示。逻辑常数被赋予标准的表示。
帧中的值的分配{��}�变量是一个函数�,使得每个变量为���∈��。 (符号:分配�[�/�]将变量x映射到值a,并且对于与x不同的所有其他可变符号相同。)
解释�=⟨{��}�,�⟩是一般模型(aka henkin模型)iff存在二进制功能�这样����∈��对于每个分配�和wff��,并且对所有分配都满足以下条件WFFS:
每个变量��=���。
����=���如果��是原始常数。
��[�����] =(�����)(����)(函数�����处的函数����)。
��[�����] =从��到��中的函数,每个参数的值�∈��是����,其中�是���=�和���=���如果��≠��。
如果解释�是一般模型,则功能�是唯一确定的。 ����在�中被称为��中的值。
人们可以轻松显示以下陈述所有常规型号�适用于所有作业�和所有WFFS�和�:
����=�和����=�
��[~����] =�当且仅当����=�
��[��∨��] =�当且仅当����=�或����=�
��[��∧��] =�当且仅当����=�和����=�
��[��⊃��] =�当且仅当����=�或����=�
��[��≡��] =�当且仅当����=����
��[∀���] =�iff��[�/�]�=
��[∃���] =�IFF存在�∈��[�/�]�=�
因此,一般模型的语义如预期的那样。 但是,有一个关于任意类型α的以下条件的微妙性:
[平等]��[��=��] =�当且仅当����=����
当采用第1.2.1节的定义时,在Leibniz原则方面已经定义了平等的情况下,那么所有类型α都不暗示此声明。 它只能保存我们另外要求域���包含α类型α的所有单位组,或者,域����包含α(需要前者)对象的相应身份关系。 在Andrews 1972a中已经证明了对Henkin(1950)的原始工作中不包含在亨金(1950)的额外要求的需求。
当使用第1.4节的替代定义时,由于签名中存在逻辑常数����的存在,这一要求显然是满足的,这通过定义表示α类型对象上的相应的身份关系,因此在每个常规模型中进行了微不足道地确保它们存在于它们的存在�。 因此,始终在教堂类型理论的基础系统的具体选择中始终呈现原始平等常数(对于每种类型α)是自然的选择,只是在安德鲁斯系统№0中实现的。
解释⟨{��}�,�⟩是所有α和�的标准模型IFF,���是从��进入��的所有功能集。 显然,标准模型是一般模型。
我们说WFF�在�iff =�的型号中有效。 设置�的WFFS的模型是一个模型,其中每个WFF都有效。
WFF�在一般的[标准]中有效[标准] sense在每个常规[标准]模型中有效。 显然,在一般意义上有效的WFF是在标准感觉中有效的,但该陈述的悔改是错误的。
完整性和声音定理(Henkin 1950):如果它在一般意义上有效,则WFF是一个定理。