命题逻辑（一）
命题逻辑是对句子的含义以及句子的含义，以及基于一个称为命题连接的特定类逻辑运算符在确定这些句子的真实或断言条件的角色。 早在亚里士多德那么观察到命题结缔组织具有逻辑意义，而且几个世纪以来，对其一些性质进行了零碎的观察。 但本身的命题逻辑并没有出现，直到十九世纪，欣赏研究命题联系人的孤立孤立的命题与其他操作员的价值。
例如，着名的规范三段论的变化，其中一个是句子“所有人都是凡人，苏格拉底是一个男人”，而B是“苏格拉底是凡人”的句子可以产生关于A和B之间的关系的多个问题。是否b遵循从逻辑上从不应该依赖依赖，就被认为是“凡人”或“人”的单词。 但是可以合理地提出任何问题，
b是否从纯粹借中遵循“和”，“是”，“是”，“全部”和“a”？
和
b是否纯粹是借助于“和”这个词的含义？
直观地，第一个问题的答案是“是”，第二个问题的答案是“否”。
这个例子表明，有一种正确的方法来提出问题，因为B等于从A逻辑上遵循。所以当我们想问一句句子逻辑上，我们应该参加所有单词的角色，如“和”，“是”，“，”全部“，”A“，”A“。。 然而，考虑，如果C是“所有人是凡人”的句子，而D是“苏格拉底是一个人”，那么C也从A中遵循，但是“是”，“是”，“全部”，“A”在直观验证中没有作用这个事实。 （因为A只是句子“C和D”，没有超出对“和”这个词的含义的理解，没有C也是如此，没有C也是如此。）这似乎很重要，B和C不仅从A次遵循，而且它们以不同的方式做到这一点。 来自A到C的推断不仅比推断更简单或更直接，而是从A的任何感测，所以COS也是如此，而C的更严格意义，而不是B，虽然B和C BED遵循“逻辑上”A，C和A之间的逻辑键比B和A介于B和A之间的逻辑键。这突出了重要性，而不仅仅是关于一个句子是否从另一句子所遵循的确定，而且是什么标准的逻辑性承载。
命题逻辑是仅仅是逻辑性标准的这样的研究，其中仅在上面的示例中的命题连接（例如“和”，但不是“是”，“所有”等）的含义被认为是评估诸如扣除的谴责或句子的真理条件。
一个句子连接是一个语言粒子，绑定句子以创建新的复合句或者将单一句子造成一个句子以创建一个新句子。 在句子连接中，一个命题结缔组织具有特征的特征，当它运行的原始句子是（或表达）命题时，从其应用程序产生的新句也是（或表达）一个命题。 有人期待，许多竞争理论是关于一个主张的，并且命题逻辑起源于独立于这种辩论的科学学科。 出于这个原因，语言粒子有资格作为命题结缔组织的精确划分有些模糊甚至有争议。 但是，普遍启发式是，命题结缔组织必须从一些原始句子创建一个新的句子，这是一个相同订单的声明。 直观地，因为“A和B”只是对A的内容和B的内容的肯定，“不是”只是否认的否则的内容，“和”，“不是”和“不”的用作命题连接。 另一方面，“有必要是”一个“是一个关于句子本身的内容的索赔。 类似地，“A意思是B”是关于句子A和B的主张，即它们彼此含义地位，而不是关于A和B本身的那种事物的索赔。 因此，必要性限定符和含义关系通常不会被认为是命题连接，而是作为模态运算符。 条件运算符在这样的表达式中为“如果a，那么b”尚未获得共识：在一些分析中，这被视为命题结缔组织，但在其他方面被视为。
在提出命题逻辑方面，我们不会承担任何特定的命题理论。 正如我们将在那样，只有在不具备这个命题的特定概念时，才能理解的开发和多个命题逻辑系统。 唯一的规定是，连接器始终在整个句子上运行，而不是像谓词或术语这样的子信规项，并且它们在与它们操作的相同的评估类中创建句子，从未在该类上的句子中的句子中的高阶表达。
1.基本框架
2.经典解释
2.1真实性功能
2.1.1正常形式
2.1.2真实功能完整性
2.1.3切换电路中的实现
2.1.4材料条件
2.1.5可拆卸性
2.1.6 NP完整性
2.1.7紧凑性
2.2扣除
2.2.1扣除定理
2.2.2基本元理论
2.2.2.1一致性
2.2.2.2最大
2.2.2.3完整性
2.2.2.4完整性为半解密性
2.2.2.5独立性
2.3 Gentzen的Calculi
2.3.1自然扣除
2.3.2序列结石
2.3.3 PK和PI的建设性完整性
3.非古典解释
3.1多值逻辑
3.2建设性逻辑
3.3相关性和连接性逻辑
3.4线性逻辑
参考书目
参考文献
更多读数
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相关条目
1.基本框架
命题逻辑的正式语言由“原子”命题变量，�1，χ2，�3，......和命题连接，�11，χ21，�31，...，�12，�22，�32，...，�13，...... 表达式的下标用于将它们彼此区分开来; 我们使用自然数的事实表明了词汇量可计算的典型约定。 命题联系人的上标表明他们的“ARITITY”，即他们在开展新命题的情况下运作的命题数量。 命题逻辑的公式递归定义
原子命令变量是公式。
如果���是命题结缔，并且⟨a，b，c，...⟩是一系列m，可能但不一定是原子的，可能但不一定是不一定的公式，那么施加���到⟨a，b，c，...⟩是公式。
应用���到⟨a，b，c，...⟩的结果通常用功能符号编写：���（a，b，c，...）。 公式的实例是
�4
�12（�7，�3）
�22（�11（�1），�11（�12（�2，�3）））
�53（�2，�32（�41（�62（�3，�3）），�5），�91（�2））
本命令逻辑公式的这种递归定义证明了标签“原子”对命题变量的使用：每个配方通过原子通过突出连接的有限应用逐步建立。 将联系人视为“命题函数”，将其作为输入和返回命题作为输出的命题（表示）命题（表示命令函数）可以有所帮助。 然后将命题的空间作为通过这些功能产生的原子公式上的自由代数，并且由标准的“功能的组成”表示法给出一个命题。 然而，这种术语不常见，因为表达“命题功能”具有相当不同的高货币使用（请参阅Bertrand Russell上的条目）。
习惯性地指示特定的连接是用特殊字符进行学习的特定连接，通常是∧，∨，⊃，¬，为二进制连接使用infix符号，并且仅在否则含糊的模糊时显示括号。 还常见的是调查命题公式的性质，这些属性不依赖于根本上的原子发生，在这种情况下，在这种情况变量A，B，C等方面出现在表达式代替句子字母中。 因此，如果�11被重新制作¬，则�12依赖于∧，并且�22依赖于∨，则代替上面列出的第三公式将写入¬a∨¬（b∧c）。
2.经典解释
命题公式的逻辑分析从带有联系人的某些含义的关联进行，并且有几种方法可以这样做。 由于研究命题逻辑的原始动机是观察到的是自然语言的一些粒子经常表现得像命题连接，自然的第一举措是试图指定捕获或近似这些自然语言谓词的作用的正式推理或精确断言条件规则以非正式推理服务。 最早的两个规格在真理函数方面以及在公理扣除系统方面。 在考虑这些后，我们将比较Gentzen Calculi提供的更复杂的规格。
2.1真实性功能
如果�是一组真理值，则函数��⟶�将真值的n组与真值值映射到真值函数。 �中的值数称为函数空间的价值。 在二价案例中，真相值表示�和�，一个人具有古典的真理理论。 观察到，在这个经典功能空间中是两个0-ary真理函数，它在命题连接的指标的约定之后，我们可以表示�10和�20，但是通常表示⊤和⊥，由⊤=�和⊥=�和由此定义的四个一定的真理函数
�11（�）=�11（�）=�，�21（�）=�，�21（�）=�，�31（�）=�，�31（�）=�，�41（�）=�41（�）=�。
一个人看到�11在其输入上执行操作，并且与⊤基本相同。 �41类似地是一个冒名顶替者：⊥打扮成一元功能。 一个人可以快速检查n-ary真相函数的数量是22英尺 - 每个21可能的输入值的N组组元组中的每个输出值都有2个可能的输出值，并且在每个阶段，许多真相函数都是来自下且下部的冒名顶替者。 特殊兴趣的情况是十六个二进制真理函数，可以通过在4个可能的输入值上指定它们的范围来完全界面完全界限：
input⟨�，�⟩⟨�，�⟩⟨�，�⟩⟨�，�⟩�12�����22�����32�����42�����52�����62�����72�����82�����92�����102�����112�����122�����132�����142�����152�����162����
一个立即识别触发器�12=⊤，�42=�21作用于第一输入值，�62=�21作用于第二输入值，�112=�31作用于第二输入值，�132=�31在第一个值上的动作，�162=⊥，留下十个基本上新的二进制真理函数。
通过将n-ary真理函数与n-ary命题结合相关联的命题逻辑的真实功能分析。 到目前为止考虑的古典案例，真相价值空间是二价的，承认一个惊人的简单分析。 首先观察到功能�13，χ22和χ28近似于自然语言粒子“不是”，“或”和“和”（颗粒“或”另一种使用颗粒“或”）的真实条件“（颗粒”或“）可以用χ27近似地近似。 因此，如果我们将这些函数与标有前面的三个连接相关联，我们可以根据句子A，B和C的句子字母A，B和C的不同可能分配给予句子A，B和C的不同可能分配的复杂公式的真实值式命题结构中指出的功能组成。 一个可以检查该公式是否准确地将值f精确地在分配T，并且否则以否则取得值。 在这种解释下，人们可以定义
A是一种经典命题有效性，如果它在其原子命令变量的每一个可能的值赋值时评估为t;
如果它在其原子命令变量的至少一个可能的值分配的情况下评估为t，则是典型的满足（并且否则经典不可困）;
A是B的经典命题后果，如果没有向A和B中发生的原子分配值，则在其上评估为T作为F值为f;
A是B如果A和B作为T在精确相同的值分配到原子的赋值的经典命题等同物。
以这种方式，所谓的逻辑的语言限于连接到连接¬，∞和∞对应于互补，联合和交叉口的熟悉的两个元素布尔代数的公式。 熟悉的布尔法律
交换：
如果a和b是等同的，并且作为c1的子核，则用b替换在c1中的发生结果是相当于c1的公式c2。
替代：
如果A和B1和C1是任何公式，那么在B1和C1中替换突出变量�的每次发生的结果是具有特性的公式B2和C2，如果B1是有效的，则是有效的; 如果b1是; B2是C2如果B1是C1的结果; B2和C2是等同的，如果B1和C1是。
互补：
a∨¬a是一个经典的有效性（称为命题逻辑中的“被排除的中间”（LEM）））。
双倍互补：
¬¬a相当于A.
可交换：
a∧b等同于b∧a，A 1B相当于b∨a。
相关性：
（a∧b）∧c等同于a∈（b∧c），并且（a∨b）∨c相当于a∈（b∨c）。
分布：
a∨（b1∧b2∧...∧b�）相当于（a∨b1）∧（a∨b2）∧...∧（a∨b�）和
a∧（b1∨b2∨...∨b�）相当于（a∧b1）∨（a∧b2）∨...∨（a∧b�）。
de Morgan等量：
¬（b1∧b2∧...∧b�）相当于¬b1∨¬b2∨...∨¬b�∨¬b�和
¬（b1∨b2∨...∨b�）相当于¬b1∧¬b2∧...∧¬b�。
因此适用于这种“布尔命题公式”的语言。
2.1.1正常形式
考虑任何其他arity的任何其他命题结缔组织，说明3，并假设它也与之相关的arity-3真实函数。 如在让我们通过指示其23个可能的输入值中的每一个上的输出来指定此真实功能。
input⋆⟨t，t，t⟩t⟨t，t，f⟩t⟨t，f，t⟩f⟨t，f，f⟩f⟨f，t，t⟩f⟨f，t，f⟩t⟨f，f，t⟩f⟨f，f，f⟩f
有一种简单的算法，用于构造一个相当于⋆（a，b，c）的布尔公式：对于ξ的定义表的每一行，其中输出值为t的定义表，构造分配的每个命令变量的结合和每个命令变量的结合和每个命令变量在该行的输入中分配f的命题变量：在我们的情况下，来自第1行的a∧b∧c，来自行2的a∧b∧¬c，¬a∧b∧¬c从第3行。然后违反这些连词。 在我们的情况下，最终公式是
（a∧b∧c）∨（a∧b∧¬c）∨（¬a∧b∧¬c）。
很明显，此公式将在所有其他行上的所有行中进行评估为t⋆（a，b，c）和所有其他行上的false。 现在，假设，该一个是具有任何任意连接组成的命题公式，并且在经典解释下，这些连接与适当的ARINIT的真理功能连接有关。 该公式将相当于一些简单的公式，其中单个连接，其A1度等于原始公式中的命题变量的总数。 通过刚刚排练的施工，简单的公式再次相当于某种形式的布尔公式。 因此，我们已经验证了析取正常形式（DNF）定理：
定理1.经典解释下的命题逻辑的任何公式相当于命题变量和否定命题变量的连词的分离。
类似的推理可用于验证对“联合正常公式”的等效，命题变量的抗剖视图和否定的命题变量的结合。
2.1.2真实功能完整性
DNF定理的一个推论是布尔逻辑 - 命题逻辑的片段只有连接¬，∧和∨ - 是一种感觉，就像具有无限许多连接的完整古典命题逻辑一样无限很多arities。 这一事实往往是通过称，经典解释上的连接{¬，∧，∨}的集合是“真实性的完整”：另一个连接不是在上述使用意义上的冒名顶替者，但它们都可以被视为一个布尔连接的某种组合的缩写。 代数，人们可以想到无限的函数空间，因为布尔函数完全跨越。
实际功能完整性的概念可以进一步按下，简单的观察，即a∧b是¬（¬a∨¬b）的经典等价物，因此它也可以被视为缩写。 所以这对{∨，¬}是真实的 - 功能完整。 同样，a∨b缩写¬（¬a∧¬b）：{∧，¬}是真实的 - 功能完整。 1913年，Henry Sheffer重新发现了Charles Sanders Peirce的未发表的观察，即�92和�152近似于自然语言表达式的真实条件“而不是......和......”和“也不...”跨越一致的二价真理功能。
2.1.3切换电路中的实现
然而，更高效减少到最小可能的真相 - 功能完整的集合的连接数，这一直是选择将最大的无序性传达到演绎推理的结构中的连接。 我们已经表明，布尔连接，通过密切逼近普通语言粒子的真实条件“不是”，“和”和“或”，提供了评估满足人体推理的正式机制。 布尔选择的另一个优点是在继电器和开关电路的描述中是自然的实现。 1940年，Claude Shannon描述了命题逻辑的解释，其中句子字母代表电路：原子电路是通过门控路径连接的节点�1和�2，当关闭时，允许电流在�1到�2之间传递。打开，没有。 a∧b表示电路A和B的串行连接，a∨b表示它们的并联连接，并且如果关闭并且如果关闭A打开并打开，则表示关闭的电路（这是一个理论上：单独的解释提供了不规定的方式电路）。 让值0表示关闭的电路，并且值1表示打开的电路，观察命题逻辑的公式代表构建电路的所有可能方法，它们的经典实际功能分析确定了所示的电路是否已打开：开路电路评估。作为T，闭合电路为F.
由于经典命题逻辑的简单性，Shannon的论文提供了极大的促进了电路设计。 立即看到任何电路等同于（即，在与脱血正常公式所描述的电路中相同的条件下打开和关闭。 因此，可以给出复杂的电路A，B和C，连接A和B串联（a∨b），然后并联连接到C（（a∨b）∧c），最后希望在打开时关闭电路：¬（（a∨b）∧c）。 该公式描述了您将关闭的电路的条件，但它没有指定构建它的方法。 DNF定理告诉我们，有一个具有相同闭合条件的“正常”电路。 因为在这种正常电路中的所有开关都适用于原子水平，所以有一种已知的方法来构建它们。 更多地，有系统的方法，用于简化具有最少的原子数量的等效公式（Quine 1955呈现由Samson和Mills 1954发现的算法）的等效公式。 结合Shannon的结果，这表明符号操作不仅提供了如何构建具有所需闭合条件的电路的指南，而且它可用于设计最不复杂和资源要求的电路。
2.1.4材料条件
经典解释的另一个重要特征是二进制实话函数�52扮演的特殊作用，除非给出输入⟨t，f⟩，否则总是返回值t。 这种真理函数通常被描述，争辩地是给出了指示性情绪条件结缔组织“如果...，那么...”，甚至错误地，为关系“意味着”的真实条件。 强调归因于含义关系的真实功能的错误是很重要的。 要说一个命题意味着另一种主张是说在第一个是真的的任何条件下，第二个也是真的。 为了表明这一关系是真实的 - 函数是表明，简单地知道a和b是否真实，足以确定一个暗示b.这个建议是站不住脚的，因为a和b的真相或虚假表一无所有。 B可能是真的，但是，对于所有这些，不是由a而暗示的，因为在其他情况下a可能是真的，而b是假的。 正如上面所强调的那样，暗示关系通常不会被认为是一个命题结缔组织，但两个命题可能相互承受的关系。
