古典逻辑（五）
在Henkin语义中，每个解释指定高阶变量的特定范围。 对于Monadic二阶变量，每个解释指定域的Powerset的非空子集，用于双位二阶变量，是域的非空的一组有序对等。系统具有上述所有限制性元 - 理论结果。 有一个Defuctive系统，可以为Henkin语义而完成; 逻辑紧凑; 和向下和向上的löwenheim-skolem定理都持有。
在所谓的标准语义中，有时称为完整语义，Monadic二阶变量范围在域的整个Powerset上; 两个地方的二阶变量范围在整个域的有序对的成员的整个类别。可以证明，使用标准语义的二阶语言可以表征许多数学概念和结构，直到同构。 示例包括限定的概念，可数性，良好，最小的封闭和结构，如自然数，实数和复数。 结果，古典的局限性定理都没有：没有有效的演绎系统是声音和完整的，逻辑不紧凑，并且Löwenheim-Skolem定理失败。 一些，如魔法[1986]，认为二阶逻辑，标准语义不是真正的逻辑，而是一种数学，特别是尤其是理论。 有关此内容，请参阅Shapiro [1991]以及在高阶逻辑上的条目以及那里引用的许多参考文献。
人们还可以考虑广义量子作为古典一阶逻辑的扩展（请参阅广义量子的条目）。 这些量子允许从经典的“全部”和“一些”之间的扩展，并且可以容纳像“最”，“不到一半”，“通常”等的量子。它们可从逻辑和语言角度来看。 例如，肯尼迪和väänänen[2021]使用广义的量词来争辩说“不可数”是一种逻辑概念。
6.2古典一阶逻辑的子册
一些哲学家和逻辑人认为古典一阶逻辑太强大：它声明了一些论点形式是有效的。 在这里，我们绘制两种提案。
直觉逻辑
直观逻辑的倡导者拒绝被排除在外的（所谓的）法律的有效性：
φ∨¬φ，
与此相关的其他推论，例如双否定消除（DNE）：
如果γ⊢¬¬φ然后γ⊢φ
粗略地说，这些限制有两个主要动机。 传统的直觉主义者L. E. J.Brouwer（例如，[1964A]，[1964B]）和arend heyting（例如[1956]）认为数学的本质是理想化的精神建设。 例如，考虑每个自然数n的命题，存在素数m＞n，使得m＜n！+2。 对于BROROWER，该命令调用了一个过程，给定任何自然数N，产生大于N但小于N！+2的素数M. 该命题表达了这种程序的存在。 考虑到这种方向，我们没有理由保持任何数学命题φ，我们可以建立与φ关联的过程或与¬φ相关联的过程。
Michael Dummett（例如，[1978]）提供了关于语言函数如何作为通信车辆的普通参数，以争辩说，直觉逻辑是唯一正确的，而不是用于数学的真正逻辑。
对于直观逻辑的概述及其哲学动机，请参阅直觉逻辑的条目。
相关性和滞因状况
这次目标推断，被声明无效，是我们上面的调用Ex Falso QuodLibet，缩写（EFQ）：如果γ1⊢θ和γ2⊢¬θ然后γ1，γ2⊢ψwe可以关注一个实例：φ，¬φ⊢ψ，有时颜色称为“爆炸”。 它说什么都是从矛盾中遵循的。
将（EFQ）视为无效的逻辑称为滞假。 大概是发言权，有两个逻辑学家倡导对帕克科蒙斯制度的倡导者，作为一个真正逻辑的候选人或作为多元化的情况。 一个营地由坚持在有效的论点中的逻辑管理员组成，该处所必须与结论相关。 通常，相关性逻辑管理员也从某些经典逻辑真理中排除称为物质意义的悖论，例如（φ→（ψ→φ））和（φ→（ψ→ψ））。
有关详细信息，请参阅相关性逻辑或KERR [2019]的条目。 经典作品包括Anderson和Belnap [1975]，Anderson Belnap和Dunn [1992]，并阅读了[1988]。 Neil Tennant的[2017]核心逻辑既相关和直观。
逻辑学家的另一个主要营地，他们更喜欢解放逻辑（或解剖逻辑）是拨式主义的倡导者，认为一些矛盾，形式中的一些句子（φ∧¬φ）是真的。 一个假设的例子是当φ是语义悖论的陈述时，例如骗子。 例如，考虑一个句子φ，即表示φ不是真的。
在其中（EFQ）保持的系统中，任何真正的矛盾都会需要正式语言的每句话，从而使语言和理论微不足道。 所以，显然，任何拨型主义的逻辑都必须是滞假的。 查看拨型主义的条目。 这里的经典工作是牧师[2006A]。
当然，这里呈现的小样本不包括每个逻辑系统，建议作为竞争逻辑，一阶逻辑的竞争对手，再次作为一个真实逻辑的候选者，或作为逻辑多元的另一个例子。 例如，请参阅子结构逻辑，模糊逻辑等的条目。
