古典逻辑（三）

假设应用的最后一个规则是（∃e），我们具有γ3⊢∃vθ和γ4，θ（v | t）φφ，γ1是γ3，γ4和t不在φ，γ4或θ中。 如果在γ2中没有自由发生，则应用诱导假设以获得γ2⊢∃vθ，然后（∃e）以最终γ2⊢φ。 如果T确实在γ2中发生自由，则使用引理7，我们遵循类似的诉讼程序。

定理8允许我们随意添加房屋。 它遵循γ⊢φ，如果虽然存在子集γ'νγ，但是γ'νφ。 一些相关逻辑系统没有弱化，也没有下结构逻辑（有关逻辑，子结构逻辑和线性逻辑的条目）。

按子句（*），所有派生都是在有限数量的步骤中建立的。 所以我们有

定理9.γίφ，如果且仅在有有限的γ'νγ，例如γ'νφ。

定理10. ex falso quodlibet的规则是d：如果γ1⊢θ和γ2⊢¬θ，那么γ1，γ2⊢ψ的“衍生规则”为任何句子。

证明：假设γ1⊢θ和γ2⊢¬θ。 然后通过定理8，γ1，¬ψ⊢θ，γ2，¬ψ⊢¬θ。 所以通过（¬i），γ1，γ2。 （达内斯），γ1，γ2⊢ψ。

定理11.切割规则。 如果γ1⊢ψ和γ2，νθ，则γ1，γ2⊢θ。

证明：假设γ1⊢ψ和γ2，ψ⊢θ。 我们通过诱导诱导用于建立γ2，χθ的规则数。 假设n是自然数，并且定理适用于使用少于n规则导出的任何参数。 假设使用完全n规则导出γ2，ξθ。 如果使用的最后规则是（= i），则γ1，γ2⊢θ也是（= i）的实例。 如果γ2，ξθ是（AS）的实例，则θ是ψ，或θ是γ2的成员。 在前一种情况下，我们通过假设具有γ1⊢θ，并通过弱化（定理8）获得γ1，γ2⊢θ。 在后一种情况下，γ1，γ2⊢θ本身是（AS）的实例。 假设使用（e）获得γ2，χθ。 然后我们有γ2，ψ⊢（θ＆φ）。 诱导假设给出了γ1，γ2⊢（θ＆φ），并且（e）产生γ1，γ2⊢θ。 其余情况相似。

定理11允许我们连锁推断。 这适合建立定理和lemmas的做法，然后在以后使用这些定理和lemmas。 切割原则是，有些人认为，对推理至关重要。 在一些逻辑系统中，切割原理是深度定理; 在其他人中，它是无效的。 这里的系统部分地设计成直接的定理11的证明。

如果γ⊢dθ，那么我们说句子θ是句子γ的集合γ的演绎后果，并且参数⟨γ，θ⟩判断为减少。 句子θ是逻辑定理，或者如果⊢dθ，则是一个逻辑定理或演绎逻辑事实。 也就是说，如果它是空集的演绎后果，则θ是逻辑定理。 如果没有句子θ，则句子的句子的设定γ是一致的。 也就是说，如果它不需要相对的Sentencess，则一定是一致的。

定理12.只有在存在句子θ，才能是一致的γ是一致的，因为γ⊢θ不是这种情况。

证明：假设γ是一致的，让θ是任何句子。 然后，它不是这种情况γίθ的情况，或者不是这种情况。 对于交谈，假设γ不一致，让ψ是任何句子。 我们有一个句子，使得γίθ和γίθ。 由Ex Falso QuodLibet（定理10），γ⊢ψ。

定义语言L1k =的句子的集合γ如果γ是一致的，并且对于L1K =的每个句子θ，则最大一致，如果θ不在γ中，则γ，θ是不一致的。 换句话说，如果γ是一致的，并且在尚未处于γ中的语言中添加任何句子，γ是最大一致的。 请注意，如果γ是最大一致的，则γίθ如果θ在γ中。

定理13. Lindenbaum lemma。 设γ是L1K =的任何一致的一组句子。 然后L1K的句子的判定γ'=使得γ⊆γ'和γ'最大一致。

证明：虽然本定理一般保持，但在此假设非逻辑术语的集合k是有限的或可恶意的无限（即，通常称为ℵ0的自然数的大小）。 因此，L1K =的句子的枚举θ0，θ1，......，即L1k =最终发生在列表中的每个句子。 通过递归定义一系列句子，如下：γ0是γ; 对于每个自然数N，如果γn，θn是一致的，则达到γn+ 1 =γn，θn。 否则，让γn+ 1 =γn。 让γ'是所有集合γn的联合。 直观地，这个想法是通过L1K =的句子=，如果这样做产生一致的组，将每个人投入γ'。 请注意，每个γn都是一致的。 假设γ'是不一致的。 然后存在一个句子θ，使得γ'νθ和γ'ίθ。 通过定理9和弱化（定理8），有有限子集γ“γ'，使得γ”νθ和γ“ν¬θ。 因为γ“是有限的，存在自然数n，使得γ”的每个成员是γn。 因此，通过再次弱化，γn⊢θ和γn⊢¬θ。 所以Γn是不一致的，这与建筑相矛盾。 所以Γ'是一致的。 现在假设一个句子θ不在γ'中。 我们必须展示γ'，θ是不一致的。 句子θ必须发生在上述句子列表中; 说θ是θm。 由于θm不在γ'中，因此它不在γm+ 1中。 仅在γm，θm不一致时才发生这种情况。 因此，可以从γm，θm推导出一对矛盾的对立面。 通过弱化，可以从γ'中推导出一对矛盾的对立面。 所以Γ'，θm是不一致的。 因此，γ'最大一致。

请注意，此证明使用与中间排除的法律相对应的原则。 在γ'的构造中，我们假设在每个阶段，任何一个γn都是一致的，或者不是。 从被排除的中间排除的直觉主义者不接受Lindenbaum Lemma。

4.语义

让K成为一组非逻辑术语。 语言L1K =的解释是一个结构m =⟨d，i⟩，其中d是一个非空集，称为话语域或简单的解释域，并且我是一种解释函数。 非正式地，域名是我们解释L1K =的语言。 这是变量范围的范围。 解释功能将适当的扩展分配给非逻辑术语。 特别是

如果C是k的常数，则I（c）是域D的成员。

因此，我们假设每个常量都表示某种常量。 未假定的系统称为可用逻辑（请参阅免费逻辑上的条目）。 继续，

如果p0是k中的零地方谓词字母，那么我（p）是真理值，无论是真理还是误。

如果Q1是k中的一个地方谓词字母，则i（q）是d的子集。 直观地，i（q）是谓词q Holds的域的一组成员。 例如，i（q）可能是域的红色成员集。

如果R2是k中的两个地方谓词字母，则i（r）是d的一组有序的d。 直观地，I（R）是关系r保持之间的域的成员组的一组成员。 例如，I（R）可能是一组对⟨a，b⟩，使得A和B是Loves B的域的成员。

通常，如果Sn是k中的n个地方谓词字母，则i（s）是D的一组有序的n组元组。

在解释M上定义s为变量分配，或者只是分配，如果s是从变量到m的变量的函数。变量 - 分配的角色是将表示的界限分配给开放式的自由变量。 （从某种意义上说，量词决定了绑定变量的“含义”。）

让T成为L1K =的术语。 在解释函数和可变分配方面，我们在s中定义了在s下的t的表示：

如果T是常数，则DM，S（t）是i（t），如果t是变量，则Dm，s（t）是s（t）。

也就是说，解释M分配给常量的表示，而变量分配为（释放）变量分配表示。 如果语言包含函数符号，则将通过递归定义表示功能。

我们现在定义了对L1K =的解释，可变分配和公式之间的满足关系。 如果φ是L1K =的公式，则M是L1K =的解释，并且S在M上是一个可变分配，然后我们在作业S下写入m，s⊨φ满足φ。 这个想法是M，S�φ是“φ在MIVE中解释为”φ“的模拟。

我们通过递归对L1K =公式的复杂性进行。

如果T1和T2是术语，则M，s⊨t1= T2如果且仅当DM，S（T1）与DM，S（T2）相同。

这与它得到的那么简单。 如果术语T1和T2表示同一件事，则才出现Identity T1 = T2 True。

如果p0是k，则k，那么，如果i（p）是真理，则m，s⊨p。

如果SN是K和T1中的N个地方谓词字母，则...，TN是术语，然后是m，s⊨st1... tn，如果且才可才能且仅当n-tuple⟨dm，s（t1），...，dm，s（tn）⟩处于i（s）中。

这照顾原子公式。 我们现在前往语言的复合公式，或多或少遵循逻辑术语的英语同行的含义。

m，s⊨¬θ，如果且仅当不是m，s∈θ的情况。

m，s⊨（θ＆ψ）如果且仅当m，s∈θ和m，s∈。

m，s⊨（θ∨ψ）如果且仅在m，s∈θ或m，s∈。

m，s⊨（θ→ψ）如果且仅当不是m，s∈θ或m，s⊨ψ的情况。

m，s⊨∀vθ如果才有才能为每个赋值s的m，s'əθ'，除了可能在变量v之外的不同之处。

这里的想法是∀vθ如果才是θ才出现真实，无论是否分配给变量v。最终条款是相似的。

m，s⊨∃vθ如果且才of am，s'əθ，对于某些赋值S'，除了可能在变量v之外的不同之外的ade。

因此，如果v的v，则∃vθ出现为true。

定理6，独特的可读性，向我们保证，这个定义是连贯的。 在分解公式的每个阶段，恰好存在一个条款，所以我们永远不会得到满足的矛盾判决。

如图所示，可变分配的角色是给出对自由变量的表示。 我们现在显示变量分配没有其他角色。

定理14.对于任何公式θ，如果S1和S2对θ中的自由变量同意，那么虽是M，s2⊨θ才能达到M，S1∞θ。

证明：我们通过诱导对公式θ的复杂性进行。 定理如果θ是原子的，则定理清楚地保持，因为在这些情况下，仅在定义中的θ图中的变量处的变量分配的值。 然后，假设定理对所有比θ更不复杂的公式保持。 并假设S1和S2同意θ的自由变量。 首先假设θ是否定。 然后，通过诱导假设，M，s1⊨ψ如果且仅当m，s2⊨ψ。 所以，由否定子句，m，s1⊨¬ψ如果且仅在m，s2⊨¬ψ。 主连接在θ中的情况是二进制的也是直接的。 假设θ是∃vψ，那个m，s1⊨∃vψ。 然后有一个赋值S'1与S1同意，除了可能在v这样m，s'1‖。 让S'2成为在免费变量上与S2同意的分配，而不是在ψ中与其他人同意。 然后，由归象假设，m，s'2⊨ψ。 请注意，除了可能v中，S'2会在每个变量上同意S2，除了可能v。所以m，s2⊨∃vψ。 逆转是相同的，并且θ以通用量词开始的情况是类似的。

通过定理14，如果θ是句子，并且S1，S2是任何两个可变分配，那么M，s1⊨θ，如果且才仅当m，s2⊨θ。 所以我们只需编写m⊨θ，如果m，s⊨θ为某些或全部，可变分配s。 所以我们定义

m⊨θ，其中θ是句子，用于所有可变分配的m，s∈θ。

在这种情况下，我们调用M型θ。

假设K'�k是两组非逻辑术语。 如果m =⟨d，i⟩是对l1k =的解释，那么我们将m到l1k'=的限制定义为解释m'=⟨d，我是我对k'的限制。 也就是说，M和M'具有相同的域，并达成K'中的非逻辑术语。 直接的归纳建立了以下内容：

定理15.如果m'是m到l1k'=，则对于L1k'的每个句子θ，如果才能且仅当m'⊨θ时。

定理16.如果两个解释M1和M2具有相同的域并达成句子θ的所有非逻辑术语，那么如果且仅当m2⊨θ时，则m1⊨θ。

简而言之，句子θ的满足仅取决于话语领域以及θ中非逻辑术语的解释。

我们说参数⟨γ，θ⟩是语义有效的，或者只是有效地写入γίθ，如果对于语言的每种解释M，如果m⊨ψ，则对于γ的每个成员，那么m⊨θ。 如果γίθ，我们还说θ是逻辑的后果，或语义后果，或γ的模型理论后果。 该定义对应于非正式的想法，即参数有效，如果其房屋不可能到达所有真实，其结论是错误的。 我们对逻辑后果的定义还制裁了有效的论点，即有效的论点是真实的保留 - 在满意地代表真理的程度上。 正式的是，如果它的结论在房屋的每种语言都是如此的每种语言下，它的结论是有效的。 有效性是用于推动性的模型 - 理论对应物。

句子θ逻辑上是真的，或者如果m⊨θ，则对于每个解释m.句子是逻辑上的，如果句子才是逻辑上，如果它只是空集的结果。 如果θ是逻辑的，那么对于句子的任何设定γ，γ⊨θ。 逻辑事实是理论的模型 - 理论对应物。

如果存在解释M，则句子θ是满足的，使得m⊨θ。 也就是说，如果存在满足它的解释，则θ是满足的。 如果在γ中的每个句子θ具有解释m，则句子的句子的设置γ是满足的。 如果γ是一组句子，如果每个句子θ在γ中，则说明m是γ的模型。 所以如果它具有模型，则一组句子是满足的。 可靠性是模型 - 理论对应物到一致性。

请注意，γ⊨θ且仅当设置γ，¬θ不满足时。 因此，如果设定γ不可满足，则如果θ是任何句子，则γ⊨θ。 这是Ex Falso QuodLibet的模型 - 理论对应物（参见定理10）。 我们具有以下内容，作为定理12的模拟：

定理17.让γ是一组句子。 以下是等同的：（a）γ是满足的; （b）没有句子θ，使得γίθ和γία; （c）有一些句子ψ，因此不是这种情况。

证明：（a）⇒（b）：假设γ是满足的，让θ是任何句子。 有一个解释m，使得m⊨ψ对于γ的每个成员。 通过否定子句，我们不能拥有m⊨θ和m⊨¬θ。 因此，⟨γ，θ⟩无效或⟨γ，¬θ⟩无效。 （b）⇒（c）：这是立即的。 （c）⇒（a）：假设这不是γ⊨ψ的情况。 然后，存在解释M，使得m⊨θ，对于γ中的每个句子θ，并且不是m⊨ψ的情况。 FortiOri，M满足γ的每个成员，因此γ是满足的。

5.元理论

我们现在提出一些结果，将演绎概念与其模型 - 理论对应物相关联。 第一个可能是最简单的。 我们在逻辑术语的含义（或多或少，两种情况下具有相同简化）的逻辑术语的含义中的各种规则 所以只有在语义上有效的时候，人们希望参与争论或减免有效。

定理18.健全。 对于任何句子θ和设置句子的γ，如果γ⊢dθ，则γ⊨θ。

证明：我们通过诱导用于建立γίθ的子句的数量。 因此，让n是自然数，并假设定理适用于任何建立的参数，以减少不到n个步骤。 并假设使用完全n步骤建立γ⊢θ。 如果应用的最后规则是（= i），则θ是形式T = T中的句子，所以θ是逻辑的。 FortiOri，γίθ。 如果应用的最后规则是（AS），则θ是γ的成员，所以当然满足γ的每个成员的任何解释也满足θ。 假设应用的最后规则是（＆i）。 所以θ具有形式（φ＆ψ），并且我们具有γ=γ1，γ2的γ1⊢φ和γ2。 诱导假设为我们提供了γ1⊨φ和γ2⊨ψ。 假设m满足γ的每个成员。 然后M满足γ1的每个成员，因此m满足φ。 类似地，M满足γ2的每个成员，因此m满足ψ。 因此，在满意度定义中的“＆”条款，m满足θ。 所以γ⊨θ。

假设应用的最后一个条款是（∃e）。 因此，我们具有γ1≤vφ和γ2，φ（v | t）νθ，其中γ=γ1，γ2和t不发生在φ，θ或γ2的任何构件中。

我们需要展示γίθ。 通过诱导假设，我们具有γ1⊨∃vφ和γ2，φ（v | t）⊨θ。 让m成为一种解释，使得m使每个成员是真实的。 因此，M使γ1和γ2的每个成员都是真实的。 然后m，s⊨∃vφ用于所有可变分配s，所以有一个s'，这样m，s'əφ。 让m'仅在m'（t）= s'（v）中不同。 然后，在φ或γ2中不发生，因此M'，S'νφ（v | t）和m'，s'⊨γ2。 因此，是'，s'⊨θ。 由于T在θ中不发生，而M'仅不同于M仅相对于IM'（T），M，s'⊨θ。 由于θ是一个句子，S'无关紧要，因此根据需要如此m⊨θ。 请注意这里限制的作用。 另一个案例涉及直接。

推论19.让γ成为一组句子。 如果γ是满足的，则γ是一致的。

证明：假设γ是满足的。 因此，让M成为解释，使得M满足γ的每个成员。 假设γ不一致。 然后存在一个句子θ，使得γίθ和γία。 通过声音（定理18），γίθ和γία。 所以我们有那个m⊨θ和m⊨¬θ。 但这是不可能的，因为在满意度定义中否定了否定条款。

尽管演绎系统D和模型 - 理论语义是由逻辑术语的含义开发的，但一个人不应该自动预期对合理（或推论19）的交谈。 对于我们到目前为止所知的所有知识，我们可能没有包括足够的推理规则来推断每个有效的论点。 对健全和推论19的谈话是数学逻辑中最重要的和有影响力的结果之一。 我们从后者开始。

定理20.完整性。 哥特[1930]。 让Γ是一组句子。 如果γ是一致的，则γ是满足的。

证明：完整证明是相当复杂的。 我们只在这里绘制。 设γ是L1K =的一致句子组。 同样，我们假设为简单起见，非逻辑术语的集合k是有限或可比的无限的（尽管即使k也是不可数的定理保持）。 手头的任务是找到解释M，使得m满足γ的每个成员。 考虑从L1K =获得的语言，通过增加新的单个常数C0，C1，......我们规定常数，C0，C1，......，彼此不同，并且它们都不发生在K。这个结构的一个有趣的特征，由于Leon Henkin，我们使用一些常量作为话语领域的成员来构建语言本身的语言的解释。 设θ0（x），θ1（x），...是大多数自由变量的扩展语言的公式的枚举，从而最终在列表中发生大多数一个自由变量的每个公式。 通过递归定义序列γ0，γ1，......的句子（扩展语言的句子），如下：γ0=γ; 和γn+ 1 =γn，（∃xθn→θn（x | ci）），其中ci是在上面列表中的第一常数，其在θn或γn的任何构件中不发生。 这里的潜在想法是，如果∃xθnistrue，则ci是一个这样的x。 让γ是集合γn的结合。

我们绘制γ'一致的证据。 假设γ'是不一致的。 通过定理9，存在不一致的γ的有限子集，因此集合γm中的一个不一致。 通过假设，γ0=γ是一致的。 让n是最小的数字，使得γn是一致的，但γn+ 1 =γn，（∃xθn→θn（x | ci））不一致。 通过（¬i），我们有那个

γn⊢¬（∃xθn→θn（x | ci））。

通过EX FALSO QuodLibet（定理10），γn，¬∃xθn，∃xθn⊢θn（x | ci）。 因此，（→i），γn，¬∃xθn⊢（∃xθn→θn（x | ci））。 从这个和（1）中，我们有γn⊢¬¬∃xθn，by（¬i），并通过（达）

γn⊢∃xθn。