古典逻辑（一）

1.简介

2.语言

2.1构建块

2.2原子公式

2.3化合物配方

2.4语法的功能

3.扣除

4.语义

5.元理论

6.一个正确的逻辑？

6.1竞争对手到古典一阶逻辑

6.2古典一阶逻辑的子册

参考书目

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相关条目

1.简介

如今，逻辑是数学和哲学分支的分支。 在大多数大学，两个部门都提供逻辑的课程，并且它们之间通常会有很多重叠。 正式语言，演绎系统和模型 - 理论语义是数学对象，因此，逻辑学家对其数学属性和关系感兴趣。 下面报告的声音，完整性和大多数结果是典型的例子。 哲学上，逻辑至少与对正确推理的研究密切相关。 推理是一种认知的心理活动。 所以逻辑至少与认识学密切相关。 逻辑也是计算机科学的中央分支，部分原因是逻辑系统中有趣的计算关系，部分地致力于正式演绎论证和推理之间的密切联系（参见递归函数，可计算性和复杂性以及计算机科学的哲学）。

这提出了关于逻辑各种数学方面的哲学相关性的问题。 如何进行推动和有效性，作为正式语言的属性 - 固定字母表上的字符串 - 符合正确推理？ 下面报告的数学结果与有效推理的原始哲学问题有什么关系？ 这是解释数学如何适用于非数学现实的哲学问题的一个例子。

通常，普通的演绎推理以自然语言进行，或者也许是用一些数学符号增强的自然语言。 所以我们的问题始于自然语言与正式语言之间的关系。 如果没有尝试全面，可能有助于在这件事上绘制几个选项。

一个观点是正式的语言准确地表现出自然语言某些碎片的实际特征。 一些哲学家声称，自然语言的陈述句具有潜在的逻辑形式，并且这些形式由正式语言的公式显示。 其他作家持有（成功）宣言陈述表达主张; 和正式语言的公式以某种方式展示这些命题的形式。 在这样的视图上，逻辑的组件提供了正确推理的基础深度结构。 如果句子的表格构成有效或推动的论证，则在自然语言中的一大块是正确的。 参见例如Montague [1974]，Davidson [1984]，Lycan [1984]（以及逻辑形式的条目）。

另一种观点，至少部分地由Gottlob Frege和Wilhelm Leibniz举行，是因为自然语言充满了模糊和歧义，它们应该被正式语言所取代。 由W.V. O. Quine（例如，[1960]，[1986]）持有的类似观点，是一种自然语言应得到补偿，清理严重的科学和形而上学工作。 企业的一个缺点是，团制语言中的逻辑结构应该是透明的。 它应该易于“读取”每个句子的逻辑属性。 一致的语言类似于正式的语言，例如，明确地呈现了其语法及其真实条件的严谨性。

在这样的视野中，测验性和有效性代表了自然语言中正确推理的理想化。 在它对对应的程度上是正确的，或者可以在正式语言中进行有效或推动的争论，这是一个正确的推理是正确的。

当数学家和许多哲学家参与演绎推理时，他们偶尔以正式的语言举行公式，以帮助消除消除，或以其他方式澄清他们的意思。 换句话说，有时以正式语言的公式用于普通推理。 这表明人们可能会将正式语言视为自然语言的增编。 然后我们的问题涉及该附录与原始语言之间的关系。 在附录中规定的推动性和有效性是什么，告诉我们一般的纠正演绎推理？

另一个视图是，正式的语言是一种自然语言的数学模型，大致相同的意义，例如，点质量是物理对象系统的模型，BOHR结构是原子的模型。 换句话说，一种正式的语言显示自然语言的某些特征或其理想化，同时忽略或简化其他特征。 数学模型的目的是揭示它们是模型的型号，而不声称该模型在所有方面都准确或模型应该替换它是模型的模型。 在这样的视野中，测绘和有效性代表了（可能是不同方面）的数学模型以自然语言正确推理。 纠正演绎推理的大块，或多或少地对应于有效或推动的争论; 原理的粗略粗略粗略对应于无效或非推动的参数。 参见，例如，Corcoran [1973]，Shapiro [1998]，厨师[2002]。

这里没有必要裁决这个问题。 也许真相在于上述选项的组合，或者也许其他选择是正确的或大多数选择。 我们只提出这个问题，以借给遵循的正式待遇的哲学观点。

2.语言

在这里，我们开发了一种正式语言的基础，或精确，一类正式语言。 同样，正式语言是固定字母上的递归定义的字符串集。 正式语言的某些方面对应于英语等自然语言的对应或具有对应的。 从技术上讲，这种“对手关系”不是正式发展的一部分，但我们将不时提及，激励一些特征和结果。

2.1构建块

我们从单数术语的类似物开始，语言项目，其功能是表示一个人或对象的。 我们称之为这些条款。 我们假设一个个别常数库存。 这些是小写字母，靠近罗马字母表的开头，有或没有数字下标：

一个，a1，b23，c，d22，等。

我们设想潜在的个人常量无限。 在本系统中，每个常量都是一个字符，因此单个常量没有内部语法。 因此，我们有一个无限的字母表。 通过持续像D22，例如由三个字符组成，可以避免这是一个小写的“d”，然后是一对下标“2”。

我们也承担了个别变量的库存。 这些是小写字母，在字母表的末尾，有或没有数字下标：

w，x，y12，z，z4，等。

在普通的数学推理中，有两个函数术语需要满足。 我们需要能够表示具体但未指定的（或任意）对象，有时我们需要表达一般性。 在我们的系统中，我们在未指定的参考和变量中使用一些常量来表达普遍性。 两种用途都在下面的正式待遇中综合。 某些逻辑书为未指定的对象使用不同的符号（有时称为“单个参数”）和用于表达普遍性的变量。

常量和变量是我们正式语言中唯一的术语，所以我们所有的术语都很简单，对应于正确的名称和代词的某些用途。 如果不是变量，我们会致电术语关闭。 通常，我们使用v表示变量，而t表示关闭项，单个常量。 一些作者还介绍了功能字母，允许复杂的术语对应于：“7 + 4”和“比尔克林顿的妻子”，或包含变量的复杂术语，如“X的父亲”和“X / Y”。 旨在数学家的逻辑书可能包含功能字母，可能是由于数学话语中的功能的中心。 针对更普遍的观众（或在哲学学生）的书籍，可以遗漏功能字母，因为它简化了语法和理论。 我们在这里跟随后者路线。 这是呈现具有更高表现力资源的系统之间的一般权衡的一个例子，以使其正规治疗更加复杂。

对于每个自然数N，我们介绍了N-Place谓词字母的库存。 这些是字母表开头或中间的大写字母。 上标表示位置的数量，可能有也可能不是下标。 例如，

3号，b32，p3，等。

是三个地方的谓词字母。 我们经常省略上标，无困惑会导致。 我们还为身份添加了一个特殊的两个谓词符号“=”。

零地方谓词字母有时被称为“句子字母”。 它们对应于独立句子，其内部结构无关紧要。 称为“Monadic谓词字母”的一个地方谓词字母，对应于表示属性的语言项目，例如“是一个人”，“是红色”，或“是素数”。 两个地方的谓词字母称为“二进制谓词字母”，对应于表示二进制关系的语言项目，例如“是”或“大于”的“父级”。 三个地方的谓词字母对应于三个地方关系，如“在直线之间呈现”。 等等。

语言的非逻辑术语包括其各个常量和谓词字母。 对于身份，符号“=”不是非逻辑符号。 在采取身份符合逻辑方面，我们在演绎系统和模型 - 理论语义中提供明确的治疗。 大多数作者都这样做，但问题上有一些争议（Quine [1986，第5章]）。 如果k是一组常量和谓词字母，那么我们给出了语言L1K =的基础知识，基于这组非逻辑术语。 它可以称为具有k的标识的一阶语言。一种类似的语言，缺少标识的符号（或者认为是非逻辑）的符号可以被称为L1K，这是k的一阶语言没有同一性。

2.2原子公式

如果V是k的n个地方谓词字母，并且t1，...，tn是k的术语，那么Vt1 ... tn是l1k =的原子公式。 请注意，T1，......，TN无需独特。 原子配方的实例包括：

p4xaab，c1x，c1a，d0，a3abc。

最后一个是一个语句的模拟，即某个关系（a）在三个物体（a，b，c）之间保持。 如果T1和T2是术语，则T1 = T2也是L1K =的原子公式。 它对应于T1与T2相同的断言。

如果原子公式没有变量，那么它被称为原子句子。 如果它确实有变量，则调用打开。 在上面的示例列表中，第一和第二是开放的; 其余的是句子。

2.3化合物配方

我们现在介绍Lexicon的最终项目：

¬，＆，∨，→，∀，∃，（，）

我们给出了L1K =：的递归定义：

L1K =的所有原子公式是L1K =的公式。

如果θ是L1K =的公式，则为¬θ。

因此，对应于¬θ的公式，因此表示不是θ的情况。 符号“¬”被称为“否定”，并且是一元连接。

如果θ和ψ是L1K =的公式，那么就是（θ＆ψ）。

Ampersand“＆”对应于英文“和”（当使用“和”连接句子时）。 所以（θ＆ψ）可以读取“θ和ψ”。 公式（θ＆ψ）称为θ和ψ的“结合”。

如果θ和ψ是L1K =的公式，那么就是（θ∨ψ）。

符号“∨”对应于“...或......或两个”，所以（θ∨ψ）可以读取“θ或ψ”。 公式（θ∨ψ）称为θ和ψ的“分离”。

如果θ和ψ是L1K =的公式，则为（θ→ψ）。

箭头“→”大致对应于“如果......然后......”，因此（θ→ψ）可以读取“如果θ然后≠”或“θ仅if≠”。

符号“＆”，“∨”和“→”称为“二进制连接”，因为它们有助于将两个公式“连接”到一个。 一些作者将（θ↔ψ）引入（（θ→ψ）和（ψ→θ））的缩写。 符号“↔”是“且仅当且仅if”的表现形式。

如果θ是L1K = and的公式，则∀vθ是L1K =的公式。

符号“∀”称为通用量化，并且是“全部”的模拟; 所以∀vθ可以读取“所有v，θ”。

如果θ是L1K = and的公式，则∃vθ是L1K =的公式。

符号“∃”称为存在量化，并且是“存在”或“存在”的模拟; 所以∃vθ可以读取“存在θ”。

这就是所有人。 也就是说，所有公式都根据规则（1） - （7）构建。

条款（8）允许我们对公式的复杂性进行诱导。 如果原子公式的某个财产持有，并在条款中提出的运营（2） - （7），那么所有公式的财产均有。 这是一个简单的例子：

定理1. L1K =的每个公式都具有相同的左右括号。 此外，每个左括号对应于唯一右括号，其左侧括号右侧发生。 类似地，每个右括号对应于唯一的左括号，其在给定的右括号的左侧发生。 如果在匹配的一对括号之间发生括号，则其交配也会发生在该匹配的对中。 换句话说，在匹配对中发生的括号本身匹配。

证明：按条款（8），每个公式都是从原子公式建立的，使用子句（2） - （7）。 原子配方没有括号。 仅在条款中引入括号（3） - （5），每次被引入它们作为匹配集时。 因此，在建造公式的任何阶段，括号都会分配。

我们接下来定义在公式中自由或绑定的变量的发生的概念。 立即遵循量化的变量（如“∀x”和“∃y”）既不自由也不绑定。 我们甚至没有将那些人视为变量的发生。 原子公式中出现的所有变量都是免费的。 如果变量发生在θ或ψ中的空闲（或绑定），则相同的发生是空闲（或绑定）¬θ，（θ＆ψ），（θ∨ψ）和（θ→ψ）。 也就是说，（Unary和Binary）连接不会改变它们中发生的变量的状态。 θ中的变量V的所有出现都在∀vθ和∃vθ中绑定。 θ中的任何自由发生的V in in绑定初始量程。 在θ中发生的所有其他变量是自由的或在∀vθ和∃vθ中绑定，因为它们处于θ中。

例如，在公式（∀x（轴）和bx）中，轴上和第一Bx中的“x”的出现由量化器绑定。 “Y”和最后一次发生“X”的发生是免费的。 在∀x（轴→∃xbx）中，AX中的“x”由初始通用量化界限，而另一个X的X由存在量界定。 以上语法允许这种“双重绑定”。 虽然它没有创造任何歧义（见下文），但我们将避免这种公式，作为一种味道和清晰度。

该语法还允许所谓的空中绑定，如在∀xbc中。 这些也将避免在下面的。 一些逻辑治疗排除了作为语法的空虚装订和双重绑定。 简化了以下一些治疗，并使他人复杂化。

自由变量对应于放置保持器，而绑定变量用于表达一般性。 如果公式没有空闲变量，那么它被称为句子。 如果公式有空闲变量，则称为打开状态。

2.4语法的功能

在转向演绎系统和语义之前，我们提到了语言的一些特征，如到目前为止所开发的语言。 这有助于绘制正式语言与英语等自然语言之间的对比。

我们假设所有类别都是不相交的。 例如，没有连接也是数量或变量，并且非逻辑术语也不是括号或连接。 此外，每个类别内的项目都是不同的。 例如，用于分离的标志不作为否定符号进行双重义务，也许更重要的是，没有两个地方谓词也是一个地方谓词。

像L1K =这样的英语和正式语言等自然语言之间的一个差异是后者不应该有任何歧义。 不同类别的符号的政策不重叠，没有符号是双重义务的，避免了歧义的那种，有时被称为“Equivocation”，当一个单词有两个意义时发生的：“我会在银行见到你。” 但还有其他种类的歧义。 考虑英语句子：

约翰结婚了，玛丽是单身，或乔是疯了。

这可能意味着约翰结婚，玛丽是单身或乔是疯狂的，否则这可能意味着约翰两人都结婚了，玛丽是单身，否则乔是疯狂的。 由于不同的方法来解析同样的句子，有时被称为“两栖利用”，这样的歧义。 如果我们的正式语言没有括号，则会有两栖动物。 例如，将存在“公式”A＆B = C.这应该是（（A＆B）∨c），或者是（A＆（b∨c））？ 括号解决了两栖多彩的内容。

我们可以确保我们语言中没有其他两栖动物吗？ 也就是说，我们可以确定每一个公式l1k =只能以一种方式放在一起吗？ 我们的下一项任务是回答这个问题。

让我们暂时使用否定符号（¬）或量词的术语“联合标记”，然后是变量（例如，∀x，√z）。

引理2.每个配方由一系列零或更多的机构标记物，然后通过三元结缔组织，通过条款（3） - （5）之一来制备原子配方或配方。

证明：我们通过诱导公式的复杂性，或者换句话说，换句话说，在应用的形成规则的数量上。 引理明显持有原子公式。 让N是自然数，并假设引理物适用于由N或更少的条款（2） - （7）构成的任何配方。 设θ是由n + 1实例构成的公式。 如果用于构造θ的最后一个条款是（3），（4）或（5）的最后条款，则LEMMA保持。 如果用于构造θ的最后一个条款是（2），则θ是θ。 由于ψ在规则的n实例构建，因此引理为ψ（由诱导假设），因此它保持θ。 如果最后一个条款是（6）或（7），则类似的推理显示θ保持θ的θ。 通过条款（8），这排气了病例，因此引理θ通过诱导保持θ。

LEMMA 3.如果公式θ包含左括号，则它以右括号结尾，右括号匹配θ中的最左侧括号。

证明：在这里，我们还通过诱导（2） - （7）的实例数，用于构建公式。 显然，引理的原子配方持有，因为它们没有括号。 然后，假设lemma用于构成有n或更少的（2） - （7）的情况的公式，并且θ用n + 1实例构造。 如果应用的最后一个子句是（3） - （5），则引理物质，因为θ本身以左括号开始并以匹配的右括号结尾。 如果应用的最后一个条款是（2），则θ是¬ψ，并且诱导假设适用于ψ。 类似地，如果施加的最后一个条款是（6）或（7），则θ由量化器，变量和我们可以应用归一点的公式组成。 因此，引理物占据θ。

引理4.每个配方含有至少一个原子配方。

通过对用于构建公式的（2） - （7）的情况的情况的诱导诱导进行证明，我们将其作为锻炼。