形而上学中的柏拉图主义（三）

关于柏拉图主义语言语义优于心理学家语义语义的另一个论点是基于以下事实：在普通用法中，一种不存在某种方法的方法是说“它仅存在于您的脑海”。 5]说数学对象仅存在于我们的脑海中，只是说它们不存在。要说它们（与我们对它们的思想相反）的存在是说它们独立于我们和我们的思想存在。 Quine以一种非常引人注目的方式将这一点与Pegasus这样的神话对象的概念性观点联系起来。他写道（1948年，第2页）：

MCX [谁坚持存在Pegasus存在，并且是我们脑海中的一个主意]从不将Parthenon与Parthenon-Idea混淆。 parthenon是身体上的； Parthenon-Idea是精神上的……我们无法轻易想象这两件事与众不同……但是当我们从帕台农神经转移到飞马时，混乱就会引起混乱 - 除了MCX之外，没有其他原因会被粗暴和最有利的伪装所欺骗授予飞马的不存在。

相同的论点可以与3-迪亚斯与3的心理学融合3：您可能怀疑确实有一个数字3，即客观地和我们独立于我们的数字3，但是您不应该出于这个原因声称您的想法3是3，因为这只是一个混乱 - 就像说您对飞马的想法是飞马，或者您对Parthenon的想法是Parthenon。

让我们现在继续前进到Immanent现实主义者或物理学家的数学观点，让我们首先专注于Mill's（1843，Book II，第5章和第6章），即维持数字句子的观点实际上只是一般声称一堆普通对象。在此视图上，例如，句子“ 2 + 1 = 3”实际上与特定对象（数字1、2和3）无关。相反，它说，每当我们将一个对象添加到一堆两个对象中时，我们都会得到一堆三个对象。现在，为了以这种方式考虑当代数学，当代的米利安人也必须将设定的理论与普通对象有关。但是，这是站不住脚的。这里的一个论点是集合理论不可能是关于一堆普通对象或成堆的物理物质，因为与每个物理堆相对应，有很多集合。例如，与球相对应的是包含球的集合，包含其分子的集合，包含其原子的集合等。 （而且我们知道这些是不同的集合，因为它们具有不同的成员，并且从集合理论中，如果集合A和集合B具有不同的成员，那么A与B不同。与每个物理对象相对应的那个，都有大量的无穷大。例如，与我们的球相对应，有一个包含球的集合，包含该集合的集合，包含该集合的集合等等。还有一个包含球的集合，包含包含球的组的集合；等等。显然，这些集合不仅是一堆物理内容，因为（a）其中有很多（同样，这取决于集合理论的原理），而且（b）所有这些无限的集合共享相同的物理基础。因此，关于集合的主张似乎不是关于一束普通对象的主张，甚至不是关于此类束的普遍主张。它们是关于集合的主张，这是另一种对象。

沿着米尔（Mill）界线的物理主义观点的另一个问题是，它们似乎无能为力，以考虑设定理论所涉及的无限态度的巨大规模。标准集理论不仅需要无限大的集合，而且还需要无限大小的无限大小，它们会变得越来越大，没有任何终点，而且实际上存在所有这些不同大小的无穷大的集合。根本没有什么合理的方法来理论与物理事物有关。

（这些论点不会驳斥早期Maddy（1990）捍卫的那种内在的现实主义。在Maddy的角度上，一组物理物体位于时空，就在其成员所在的地方。因此，如果您手中有两个鸡蛋，然后，您的手中包含那些鸡蛋的套件。在时空中，给定的物理对象存在。从这里相关的意义上，物理学家的观点（如上所述，它更好地认为是柏拉图主义的非标准版本）。这使数学对象是物理对象），柏拉图主义者无需反对Maddy的观点。当然，最终，如果他们想激励柏拉图主义的标准版本，那么他们就必须给出理由更喜欢自己的观点而不是Maddy的非标准版本的Platonism，这可能很难做到。有关对Maddy早期观点的一些论点，例如，例如Lavine（1992），Dieterle和Shapiro（1993），Balaguer（1998a），Milne（1994），Stighin（1994），Carson（1996），后来的Maddy（1997年）（1997年） ).)

如果我们在这里讨论过的论点是有说服力的，那么诸如“ 3 is prime”之类的句子与身体或心理对象无关，因此，心理学和内在的现实主义并不是数学的持续观点。但这并不是关于抽象数学对象存在的单一术语论点的终结，因为我们仍然需要考虑诸如“ 3 is prime”之类的句子的名义观点。为了使柏拉图主义者建立自己的观点，他们需要驳斥这些名义主义观点以及心理学和身体主义的观点。应该注意的是，这是困难的部分。数学哲学家之间有很多共识，即心理和内在的现实主义是站不住脚的。也就是说，大多数数学哲学家是柏拉图主义者或名义主义者。但是，关于柏拉图主义还是名义主义是正确的，几乎没有达成共识。

名义主义者如何发展诸如“ 3是Prime”之类的句子的帐户？一种策略是拒绝前提（1）和上面讨论的本体论承诺的标准标准。做到这一点的最明显方法是认可以下视图：（a）像“ 3”这样的简单数学句子应该读为“ a is f'的形式，并且是关于抽象对象（例如，'3 3） “应将其表示为数字3，这只能是一个抽象的对象，而“ 3 is prime”应被视为对该对象的主张）； （b）抽象对象（尤其是数字3之类的数学对象）不存在（这里的说法是它们没有任何东西，所以这不是米南古的观点）；但是（c）诸如“ 3是Prime”之类的句子实际上是正确的。因此，从这种角度来看，即使该对象根本不存在，关于对象的主张也可以是正确的。让我们称此视图薄弱。 Azzouni（1994，2004），Salmon（1998）和Bueno（2005）认可了这种一般类型的观点。

薄真实主义者认可对存在主张的类似观点。例如，在他们看来，即使没有数字之类的东西，“有无限的质数”句子实际上是正确的。这可能看起来像是一个矛盾，但事实并非如此，因为根据薄薄，存在的表达（或量词），例如“有”是模棱两可的。

大多数哲学家认为这种观点非常难以置信。确实，许多哲学家会说这是简单的困惑或不一致的。但是，实际上，薄确实的主义并不是不连贯的。从视图中提出问题的一种更好的方法如下：在放弃本体论承诺的标准标准时，薄薄的主义者似乎以非标准的方式使用了“ true”。我们大多数人都会说，如果没有数字3的内容，并且如果“ 3是prime”的面值（即，是数字3），那么毫无疑问地遵循'3是prime'不可能是真的。或更广泛地说，我们大多数人会说，如果没有对象A之类的东西，那么“ a is f”的句子在字面上是正确的。当然，这只是说我们大多数人都接受上面讨论的本体论承诺的标准标准，但这里的重点是，该标准似乎已内置在诸如“ True”之类的单词的标准含义中。确实，这解释了为什么本体论承诺的标准标准如此广泛地接受。

人们可能会引起人们对薄薄弱主义的另一个担心，它仅以一种口头的方式与虚构主义不同。让“瘦长”表达薄薄的人想到的真理，让'厚实'表达辩论中其他所有人都想到的真理（即柏拉图主义者，虚构主义者，虚构主义者，释义名义主义者，等等）。鉴于此，虚构主义者和瘦弱的人都将认可以下所有主张：（a）柏拉图主义者对“ 3是Prime”是正确的，这是关于数字3的主张； （b）没有数字3；因此（c）“ 3是Prime”不是厚实的；但是尽管如此，（d）“ 3是Prime”还是薄的。现在，当然，薄的真实主义者和虚构主义者会不同意“ 3是Prime”是正确的，但是这会崩溃成分，即对薄真相还是厚实的真理是一种分歧，这只是一个分歧关于“ True”一词在普通的民间英语中的含义，很难理解为什么关于人们如何使用某个单词的经验问题与关于数学对象的存在的辩论有关。

无论如何，如果我们拒绝薄薄的主义 - 即，如果我们接受前提（1）和本体论承诺的标准标准 - 那么，名义主义者可以采用两种一般策略来对数学句子的看法，例如'3是Prime'。首先，他们可以认可释义观点，其次，他们可以认可虚构主义的观点。那些认可释义观点的人声称，虽然诸如“ 3是Prime”之类的句子是正确的，但不应在柏拉图主义者阅读它们时阅读它们，因为我们可以用其他句子与其他句子相结合的句子，而这些句子不会使我们不承担抽象对象的存在。这种观点（称为if-thenism）认为，“ 3是Prime”可以用“如果有数字”来解释，那么3将是Prime'（有关这种观点的早期版本，请参阅早期的希尔伯特（1899年，他在弗雷格（Frege）的信（1980年）；释义策略的第二个版本，我们可以称为metamathematical形式主义（见库里（1951）），是“ 3 is prime”可以用“'3 is prime”来解释。[6] Chihara（1990）开发的第三个版本是，似乎对存在的数学对象的数学句子（例如，“有2到4'之间存在质量数字”）可以解释为句子，以了解可能是什么可能我们要做（特别是我们写下来的可能是什么）。其他认可释义观点的人包括Hofweber（2005），Rayo（2008），Moltmann（2013）和Yi（2002）。

各种释义观点的一个问题（不要对此提出太好点）是，这些释义似乎都不是很好。也就是说，释义似乎歪曲了当我们说“ 3是Prime”之类的话时，我们的实际含义（通过“我们”，我的意思是数学家和普通人）。我们的意思是，看来3是素数 - 不是，如果有数字，那么3将是素数，或者句子“ 3是素数”是算术的公理或任何此类事物的。并注意这里的情况与我们似乎具有良好释义的情况有何不同。例如，人们可能会试图声称，如果我们认可该句子

（A1）普通会计师有两个孩子，

然后，我们在本质上致力于普通会计师的存在；但是可以假设，实际上我们不是那么承诺，因为（A1）可以通过句子来解释

（A2）平均而言，会计师有两个孩子。

此外，坚持认为这是（A1）的良好释义似乎是合理的，因为很明显，当人们说（A1）之类的话时，他们的真正含义是（A2）。但是在当前情况下，这似乎是错误的：假设人们说“ 3是Prime”时，他们的真正含义是“如果有数字，那么3将是PRIME”。同样，似乎我们在这里的意思是3是素数。简而言之，当人们说“ 3是素数”之类的话时，他们通常没有任何意图说这些句子所说的话。因此，柏拉图主义者的数学话语语义似乎是正确的。

一些释义的名义主义者（例如，Chihara 1990，2004）坚持认为，我们真正的意思并不重要，释义名义主义者并不致力于这样的论点，即他们的释义占据了我们数学句子的真正普通语言含义。但这是错误的。如果措辞术语主义者承认柏拉图主义者对像“ 3是Prime”这样的数学句子的普通语言含义是正确的，那么他们的观点将崩溃成虚构主义的观点，根据这些观点，例如“ 3是Prime”这样的句子并不是真实的。因为释义名义主义者不相信数学对象的存在，因此，如果他们承认普通的话语是“ 3是素数”的话，最好将其解释为与数学对象有关，或者说是关于此类对象的，那么他们将不得不承认正如虚构主义者所坚持的那样，这种句子实际上是不真实的。因此，如果释义术语主义的观点将是虚构主义的真正替代方法，则必须涉及以下论点：名义主义者提供的释义捕获了普通数学句子的真实含义。

另一方面，措辞主义者可能会试图争辩说，他们对诸如“ 3是Prime”之类的句子的普通语言含义是正确的，尽管这对普通人来说并不明显或透明。然而，这种立场将极具争议性和难以激励。

最近已经有些流行的释义观点认为，似乎与数字有关的句子最好地看作是关于复数的。例如，我们可能会读出“ 2 + 2 = 4”，因为确实说了这样的话：两个和两个是四个（或两个对象和两个（更多）对象是四个对象，或某些对象）。这种一般类型的观点得到了认可或捍卫，例如，Yi（2002，即将到来），Hofweber（2005）和Moltmann（2013）。这种观点比其他一些释义 - 传统主义观点更适合普通用法，并且对于诸如“ 2 + 2 = 4”之类的句子似乎是合理的。但是，当我们切换到诸如“ 3是Prime”之类的句子时，更糟糕的是，“有很多数量的数量” - 它们似乎开始看起来很麻烦，并且不那么合理。

（有关对某些解释主义者观点的深入讨论和批评，请参见伯吉斯和罗森（1997）。

现在让我们继续讨论虚构主义，这是唯名论者的最后选择。与释义唯名论者不同，虚构主义者承认柏拉图主义者对于数学话语的表面价值语义是正确的。但因为虚构主义者不相信抽象物体，他们认为像“3是素数”这样的数学句子是不正确的。换句话说，虚构主义者认为（a）柏拉图主义者是正确的，像“3是素数”这样的句子确实声称是关于抽象对象的，但是（b）不存在抽象对象这样的东西，所以（c）这些句子 -事实上，我们的数学理论是不真实的。因此，根据这种观点，正如《爱丽丝梦游仙境》是不真实的，因为不存在会说话的兔子、抽水烟的毛毛虫等等这样的东西，所以我们的数学理论也是不真实的，因为不存在诸如数字和数字之类的东西。集等[7]。 （虚构主义是由菲尔德（1980、1989、1998）、巴拉格尔（1998a、2009）、罗森（2001）和冷（2005a、2005b、2010）发展起来的。人们也可以解释梅利亚（2000）、亚布罗（2002a， 2002b、2005），以及布埃诺（2009）作为虚构主义者最后，霍夫曼（2004）认可一种虚构主义，但她的观点与这里讨论的观点非常不同；有关她的观点的更多信息，请参阅数学哲学中的虚构主义条目。 .)

柏拉图主义者可能会用几种不同的方式来反对虚构主义。最著名和广泛讨论的反对虚构主义的论点是奎因-普特南不可或缺论（参见奎因（1948，1951），普特南（1971，2012）和科利万（2001））。这一论点（或者至少是它的一个版本）是这样进行的：正如虚构主义者所暗示的那样，数学不可能是不真实的，因为（a）数学是我们物理理论（例如量子力学、广义相对论）不可或缺的一部分理论、进化论等等）等等（b）如果我们想坚持我们的物理理论是正确的（当然我们确实如此——我们不希望我们对抽象对象的怀疑迫使我们成为反实在论者）自然的科学），那么我们必须坚持我们的数学理论是正确的。

虚构主义者对奎因-普特南的论证提出了两种不同的回应。第一个理论是由菲尔德（Field，1980）和巴拉格尔（Balaguer，1998a）提出的，它基于这样的主张：事实上，数学对于经验科学来说并不是必不可少的——也就是说，我们的经验理论可以被名词化，或者以一种避免以下情况的方式重新表述：对抽象对象的引用。第二个回应是由 Balaguer (1998a)、Rosen (2001)、Yablo (2005)、Bueno (2009)、Leng (2010) 以及 Melia (2000) 提出的，是承认数学对于经验科学来说是不可或缺的，并且只是从虚构的角度来解释相关的应用。 （Colyvan (2002) 和 Baker (2005, 2009) 对第二个回应做出了反驳，他们认为虚构主义者无法解释数学在科学中所扮演的解释性角色；对不可或缺性论证的解释性版本的回应Melia (2002)、Leng (2005b)、Bangu (2008) 以及 Daly 和 Langford 给出（2009）。）

对于虚构主义者对奎因-普特南论证的回应是否成功，尚未达成共识。但即便如此，柏拉图主义者也可能对虚构主义提出其他反对意见。例如，有人可能会争辩说，虚构主义者无法解释数学的客观性（对此的回应，请参见 Field (1980, 1989, 1998) 和 Balaguer (2009)）。或者，其次，人们可能会争辩说，虚构主义不是一种名义上可接受的观点，因为它的表述总是涉及对各种抽象对象的默认引用，例如句子类型、故事或可能的世界（对此的回应，请参阅菲尔德（ 1989）、巴拉格尔（1998a）和罗森（2001））。对于虚构主义的其他反对意见，请参见 Malament (1982)、Shapiro (1983a)、Resnik (1985)、Chihara (1990，第 8 章，第 5 节)、Horwich (1991)、O'Leary-Hawthorne (1997)、伯吉斯和罗森 (1997)、卡茨 (1998)、托马斯(2000, 2002)、斯坦利 (2002)、布埃诺 (2003)、萨博 (2003)、霍夫曼 (2004) 和伯吉斯 (2004)。对于这些反对意见的回应，请参阅上面引用的各种虚构主义作品，以及 Daly (2008) 和 Liggins (2010)。对于所有这些反对意见的讨论，以及虚构主义对它们的回应，请参阅数学哲学中的虚构主义条目。）

最后，柏拉图主义者是否能够成功反驳虚构主义并不明显，更一般地说，本小节中所演练的单数项论证的版本是否为相信抽象数学对象提供了一个很好的理由，这一点也不明显。