二阶和高阶逻辑（六）

假设一位数学家想说服某人关于Bolzano定理的真实性：“如果对实数的连续函数具有负值和间隔内的正值，那么它在该间隔中具有根源”。他们将从实数的有序字段开始。 （认为​​是）这是什么意思，因为该场的二阶公理化是分类的。然后，他们将在此字段上采用任意连续函数f，以便它在固定间隔内具有相反的符号值（a，b）。很明显，这意味着什么，因为二阶逻辑具有用于函数的变量。令C，d \ in（a，b），以便f（c）＜0和f（d）＞ 0。不会失去普遍性，c＜d。令x = \ {e \ in（a，b）：f（e）＜0 \}。由于我们具有针对域子集的关系变量，因此我们可以将X视为这种关系变量的值。很明显，X存在，但是先验我们可以在x上实现矛盾的条件（例如x = \ {e：e \ notin x \}），然后我们不应该声称其存在。但是，在这种情况下，理解公理模式意味着X存在。显然，x \ ne \ emptyset和x由d从上方界定。表征实际数字场的二阶公理之一是，每个从上方界限的非空置都具有至上。因此，我们可以让z成为X的至上。现在，它遵循F（z）= 0的连续函数的基本属性。

在上面的证明中很难说出它是公理或语义论证中的句法派生。从表面上看，它看起来像是语义论证。但是每个步骤都可以从公理中得出，因此可以将其视为句法派生的速记版本。

基于理解公理模式和选择公理的二阶逻辑中的句法派生非常类似于集合理论中的句法派生。在这两种情况下，工作数学家都不会写所有论点的细节，但会诉诸速记符号。在这两种情况下 - 一阶逻辑和集合理论 - 我们都可以将证据解释为句法形式证明的速记版本或语义证明。一阶逻辑可以在哪些语义证明变成句法形式证明的帮助下满足完整定理。由于完整性定理使用一阶结构的概念，因此在公理的所有模型（包括可计数模型和非标准模型）中，公理证明的句子都是正确的。它们在集合的累积层次结构的直观模型中是正确的吗？通过反思定理，所有集合的类别都是正确的，但是由于直观模型是非正式的，我们无法证明所有集合的类别与直观模型相同。

另一方面，为了使完整定理适用，语义论点必须使其起作用的任何设置理论模型。这意味着集合理论中的语义参数不应使用集合理论的单个模型的属性，除非它们是ZFC所有模型的通用一阶属性。在实践中，这意味着，如果使用CH，\ Diamond，2^{\ Aleph_0} = \ Aleph_2等属性，则使用依此类推，则可以单独提及作为假设。完全无法使用模型的非第一阶属性，否则无法使用完整性定理。不过，有时会使用非第一阶属性。例如，我们可能有一个论点，即ZFC的每个可计数模型都满足\ phi。但是随后，通过向下的löwenheim-skolem定理，ZFC的每个模型都满足\ phi。因此，我们已经能够消除模型可视性的非第一阶假设。

如果使用亨金模型，则二阶逻辑满足完整定理。因此，二阶逻辑中的语义论证可以变成句法形式证明，但是与设定理论一样，语义论证在所有亨金模型中都必须有效，不仅在所有完整的亨金模型中。因此，与集合理论一样，语义论证不能使用亨金模型的属性，这些模型并非所有亨金模型共享，尤其是饱满度（请参阅第§9.1），因为在一般模型中，它不是二阶属性。当饱满时，分类会发生什么？我们仍然具有内部分类性，因此只要确保我们在一个模型中工作，就可以在证明中使用分类。确保这一点的一种特定方法是，我们将所有内容都基于公理，理解公理模式和选择的公理。

当将二阶逻辑用作数学的基础时，可能会出现需要三阶逻辑的情况。例如，拓扑通常定义为一个集合的家族，因此是三阶对象。只要在需要时简单地包含第三（或更高）逻辑的二阶逻辑精神就可以很好。自然，必须假定理解公理模式和选择的公理对于三阶量化符。

在本条目中，我们将相当多的空间用于二阶逻辑的力量来表征结构（请参阅第7.1节）。简而言之，如果结构具有数学兴趣，则可以表征二阶。通过选择的公理构建的结构可能会逃脱二阶的特征。但是，二阶逻辑证明结构的存在的力量是什么？可以在一个元素域中满足公理，包括​​理解公理和选择的公理。因此，我们无法从公理中证明任何大小＞1的结构。这破坏了奎因（Quine）将二阶逻辑描述为“绵羊服装中的固定理论”（1970年，第5章中的部分），可能是指二阶逻辑的本体论承诺与集合理论的层次相同。

也许二阶逻辑的哲学是，如果可以描述结构，则它的存在，与希尔伯特的形式主义哲学相呼应。但是，即使从这个意义上讲，我们也需要知道表征\ theta_ \ ma是一致的。一种琐碎的方法是观察\ ma本身当然可以满足\ theta_ \ ma，但这显然引出了问题。尽管如此，这就是希尔伯特（Hilbert）为实数的公理的一致性（1900）所主张的。如果\ ma =（\ on，+，\ cdot），则需要的是，域的适当子集具有与整个域相同的基数，正如Dedekind所示。结合理解公理模式，\ ma的存在。对于（\ or，+，\ cdot，0,1）这还不够。似乎不可避免地，当我们从结构转移到更大的结构时，我们需要做出巨大的假设。此类假设称为Väänänen（2012）中的大域假设。在集合理论中，一开始就可以通过假设功率集公理和替换公理来解决这个方面，从而确保有足够大的集合。在二阶逻辑中，随着我们的前进，我们必须假设新的和新的大域假设。这可以看作是一个缺点，必须一直进行新的假设。另一方面，它可以看作是一种资产，不必在真正需要之前做出过于雄心勃勃的假设。

14.二阶算术

由于实数在数学中所起的核心作用，自然数的二阶理论（称为二阶算术）（Simpson 1999 [2009]）和表示为Z_2，是一个重要的基础理论。它比（一阶）Peano算术强，但比集理论弱。它具有被认为是自然数量的个人的变量，以及一组自然数的变量，被认为是实数。另外，对个人的算术操作还有 +和\时间。由于公理Z_2具有一些关于 +和\ times的相当明显的公理，因此感应公理（\ ref {ind}）和二阶逻辑的公理，包括​​理解原理（\ ref ref {ca}）。 Z_2中可以得出令人惊讶的数学数量。有关详细信息，我们参考了Simpson（1999 [2009]）。从某种意义上说，Z_2是二阶逻辑的巨大成功故事。

反向数学使用Z_2来隔离数学众所周知的定理所依赖的确切公理。在一本教科书中，这种定理也许在非正式的集合理论中得到了证明，但是在每种情况下实际上都需要多少集理论？例如，我们可能会问可以证明Bolzano-Weiersstrass定理的最弱的公理集是什么？需要多少设定的理论，理解，选择，归纳等？由于Z_2是许多数学定理的自然且充分的环境，因此它是回答反向数学程序提出的问题的合适框架。反向数学中所做的主要（但不是唯一的）区别涉及证明此或该数学结果所需的理解原理的数量。特别是，阐明了算术和\ pi^1_1理解原则的作用。实际数字的基本理论只能基于算术理解，但是依靠可数序的概念的证据需要\ pi^1_1理解原则。同样，我们指的是Simpson（1999 [2009]）。

15.二阶集合论

我们现在已经将经过的集合理论（ZFC）作为一阶理论。但是，当Zermelo（1930）引入构成现代ZFC公理系统的公理时，他以二阶逻辑制定了公理。特别是，他的分离公理是

\ forall x \，\ forall x \，\存在y \，\ forall z（z \ in y \ leftrightArrow（z \ in x \ land x（z）））

替换公理是

\ forall x \，\ forall f \，\存在y \，\ forall z（z \ in y \ leftrightArrow \ evanist u（u \ in x \ land z = f（u）中））。

二阶ZFC，\ ZFC^2仅是接收的一阶ZFC，其分离模式被上述单个分隔公理所取代，而替换模式被上述单个替换公理所取代。因此，\ zfc^2是有限的公理系统。 Zermelo证明了\ Zfc^2的模型是形式（v_ \ kappa，\ in）的同构的，其中\ kappa是（强烈）无法访问的＞ \ omega。

克雷塞尔（Kreisel，1967）指出，从某种意义上说，二阶设置理论决定了ch，即，即使我们不知道决定的方式是什么，即使我们不知道它是正确的。更准确的\ zfc^2 \ models ch或\ zfc^2 \ models \ neg ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch ch \ kappa \ kappa \ gappa \ gappa \ gappa \ kappa \ kappa \ kappa \ chappa \ gappa \ gappa \ gappa \ app^2 negy的ch \ kappa \ chappa \ chappa \ heg \型号当然，我们也可以在一阶集合理论中表达CH，因此情况与一阶集理论并没有真正的不同。许多人认为，即使ZFC没有决定，设定的概念也足够确定，即使最终也可以决定。同样，我们可能会争辩说，即使二阶逻辑的当前公理无法做到，二阶语义的概念也足够确定CH。

出现了这个问题，为什么我们不使用二阶理论\ zfc^2作为二阶逻辑的元看，正如Shapiro（1991）中的建议。实际上，我们可以使用它。但是，问题可能会兴起，我们的元素疗法的语义是什么？原则上，这些问题可能导致无限退步。通过使用一阶集理论作为元理性，关于元理性语义的问题将只是关于一阶逻辑语义的问题。我们在§6中指出，一级逻辑的语义相对于ZFC是绝对的。这可以保证我们不需要继续询问，元心理是什么。

16.有限模型理论

二十世纪上半叶的数学逻辑的兴起与理解自然和实数的无限结构的不同方法交织在一起。随着计算机科学在20世纪下半叶的出现，逻辑进行了重生过程。计算和数据库的概念都强调了需要理解有限/无限的区别，而是有限程度的新度量。例如，是否可以在多项式时间中确定问题的问题出现，以挑战发达的理论，即在有限的时间内可以决定什么。有限的关系结构和数据库之间的类比导致有限模型理论的出现。有关良好的评论，我们参考了Fagin（1993）。

在有限模型的背景下，二阶逻辑并不像无限模型一样遭受哲学问题。这只是其他许多语言。早期成功之一是Fagin（1974）的结果，即在存在的二阶逻辑中可以定义的模型类别，即在\ sigma^1_1-fragment中，恰好是NP，即可以可以通过及时运行的非确定性图灵机识别，该计算机在模型的编码大小中是多项式作为二进制序列。众所周知，NP是否在补充下关闭的问题是开放的。从二阶逻辑的角度来看，这是令人惊讶的，因为在所有有限的模型或无限的模型上，\ sigma^1_1当然在补充下都不会关闭。例如，无限模型（在空词汇中）的类别为\ sigma^1_1，但不是\ pi^1_1。另外，良好类是\ pi^1_1，但不是\ sigma^1_1。因此，关于有限模型的二阶逻辑的以下早期结果非常明显。这里\ mon \ sigma^1_1指的是\ sigma^1_1中的二阶逻辑，类似地\ mon \ pi^1_1。

定理17（Fagin 1975）图的连接性在\ mon \ sigma^1_1中无法定义。因此，\ mon \ sigma^1_1 \ ne \ mon \ pi^1_1。

随后将其扩展到具有某些其他结构的图表，请参见Fagin，Stockmeyer和Vardi（1995）。证明使用Ehrenfeucht-Fraïssé游戏（请参阅第3.1节）及其详细说明。

令\ sigma^1_ {1，m}表示\ sigma^1_1-formulas \的类别\存在x_1 \ ldots \ exists x_k \ phi，其中界二阶变量x_i最多是m-ary and \ phi是第一个，\ phi是第一个\ phi命令。类似地，\ pi^1_ {1，m}和\ delta^1_ {1，m}。

定理18（Ajtai 1983）有限结构（a，r）的属性，其中r为n+1- ary，of | r |甚至是\ delta^1_ {1，n+1}，但不是\ sigma^1_ {1，n}或\ pi^1_ {1，n}。

这种高度的非平凡定理是有限结构二阶逻辑研究的角石之一。我们不知道\ delta^1_1是否与有限结构上的\ sigma^1_1不同，但是上述定理在\ delta^1_1内给出了基于Arity的层次结构结果。