二阶和高阶逻辑（三）

形式。对于二阶逻辑，命题“ ϕ是二阶公式”，“ m是l结构”，“ s是一个分配”也相对于ZFC绝对是绝对的，但是“m⊨scc.正如我们现在将看到的。这是二阶逻辑的关键属性。如果人们认为绝对性是理想的财产或力量，那么如果人们认为非占地性作为表达力的标志，就可以认为这是一个弱点。无论是否弱点，它都是二阶逻辑的重要特征，也是讨论中的主导主题。但是，二阶逻辑并不是唯一的非吸毒逻辑。例如，L（Q1）（请参阅广义量词的输入）和LΩ1Ω1（然后在无限语言上参见输入）是非侵入的，而L（Q0）和LΩ1Ω是绝对的。 L（Q0）绝对的原因本质上是，在ZFC的传递模型中，集合的属性是绝对的。尽管LΩ1Ω的一组句子可能从一个ZFC的一个传递模型到另一个句子不同，但模型中LΩ1Ω的真相在ZFC的传递模型中绝对是绝对的，因为真相具有一个简单的电感定义，仅是指的是指的是指的。模型的句子和元素。

回想§5.3中的句θec（p，r）的定义，该句子说谓词P和R的解释具有相同的基数。基数不是绝对的属性。在一个ZFC的一个传递模型中，两组（甚至两组）可能具有不同的基数，并且在传递扩展中具有相同的基数。很容易看出“M⊨SθEC（P，R）”不是绝对相对于ZFC。从本质上讲，原因是，如果两组有两组，则它们之间的基数相同。在一个小的及物集合中，可能会发生这些集合，但是表现出其等待性的两次试验却没有。双眼可以是通过强迫方法获得的。否则缺乏两者是应用向下löwenheim-skolem定理的结果[6]。

§5.3的θch的句θch是一个更严重的案例。空词汇的句θch具有一个模型，并且仅当连续假设为真时。如果T⊆ZFC是有限的，则有可计数的及时模型m⊆m'，因此，一个（例如m，满足CH，在这种情况下为M'）并不满足（Cohen 1966）。在m中，句θch具有模型A，即m⊨“a⊨θch”。在m'中，同一句子没有模型，特别是m'⊭“a⊨θch”。如果连续假设被选择的公理取代（请参阅第§5.4），情况类似。因此，满足二阶句子的模型的属性与ZFC不是绝对的。甚至具有模型的二阶句子的属性也不是ZFC绝对的，因为在m中，句θch具有模型，但在m'中没有。对于一阶逻辑，拥有模型的句子的属性是共r.e。因此算术。算术特性始终相对于ZFC绝对。

CH和AC是集合理论的核心问题，也是持续辩论的主题。尽管AC主要被接受为公理，并且是ZFC公理系统的一部分，但CH被广泛认为是一个开放的问题。甚至有建议（例如Feferman 1999），任何公理系统都无法通过ZFC拥有的那种一般接受来解决。形式主义在数学基础上的地位进一步发展，并坚持认为，CH的真实价值是什么毫无意义。假设ZFC本身是一致的，CH及其否定都与ZFC一致。根据形式主义的位置，CH的状态已解决。二阶逻辑的语义取决于设定理论的这些难题，将二阶逻辑与设定理论相同的“篮子”。对集合理论的批评成为对二阶逻辑的批评，反之亦然。

二阶逻辑对集合理论的依赖性的另一个迹象是元看作用是barwise的结果，即在没有高度复杂的替代品的情况下，在集合理论中无法证明二阶逻辑的存在的效果是无法证明的。公理（有关详细信息，请参见Barwise 1972b）。

7。二阶逻辑的模型理论

首先，让我们注意到二阶逻辑能够对关系进行量化存在一些微不足道的后果。例如，由于微不足道的原因，Craig插值定理以二阶逻辑而有：如果有限的关系词汇为l，则ϕ'的有限关系词汇为l'，而⊨ϕ→ϕ' ⊨ϕ→θ和⊨θ→ϕ'，θ的词汇为l∩l'，因为我们可以让θ为句子∃x1…∃xn那里，其中l∖l'= {x1，…，xn}。我们还可以要求在θ和ψ中积极发生每个谓词符号，并且每个谓词符号在θ中负面发生，在ϕ和ψ中负面发生（Lyndon插值定理[Lyndon 1959]）。以同样的方式，贝丝（Beth）定理出于微不足道的原因而定，也有一些保存结果[7]也有一个微不足道的证据。有关负面结果，请参见Craig 1965。

但是，二阶逻辑没有与一阶逻辑相同的模型理论。没有紧凑的定理来产生非标准模型。一阶逻辑具有如此丰富的模型理论的原因之一是，一阶逻辑相对较弱。具有无限模型的可计数一阶理论具有所有无限基础性的模型。这是一阶逻辑弱点的结果：除非大小是有限的，否则其句子不能限制模型的大小。在模型理论中，这种弱点转向了强度：可以以有趣的方式分析一阶理论模型的结构。有关此的示例，请参见模型理论的条目。

二阶理论通常只能具有同构的一个模型。因此，如果我们研究二阶句子的模型类别，则类可能仅由一个模型组成，直到同构。只有一种模型就无法真正发展一个模型理论。最终研究了一个唯一的模型，并且没有令人信服的理由在研究中使用逻辑。如果唯一的模型是代数结构，则应使用代数进行研究。如果是有序结构，则应使用有序结构的一般理论来研究它，依此类推。不太可能是二阶特征（请参阅第7.1节）讲述了这一结构。它通常揭示了有关二阶逻辑的更多信息。例如，能够表征自然数的结构意味着紧凑定理和完整性定理失败。能够表征实数的有序字段意味着向下和向上的löwenheim-skolem定理失败。从这个角度来看，要了解二阶逻辑本身 - 确切地知道哪些结构具有二阶可以特征在于同构，这很有趣。

让我们最终比较两个层次结构，即模型理论层次结构σ

1

n

∪π

1

n

在集合理论中，二阶逻辑内部和征收层次结构σn∪π。

定理4

有效的二阶句子的Gödel数量是自然数的完整π2集。 （Tharp 1973）

二阶逻辑的löwenheim-skolem数量是所有π2定义序列的至高无上。 （Krawczyk＆Marek 1977）

二阶逻辑的HANF数是所有可定义的序数的至高无上。 （Krawczyk＆Marek 1977）

在二阶逻辑中可以定义的每个模型类都是Δ2可定义的。 （Väänänen1979）

鉴于上述定理二阶逻辑牢固地坐落在设置理论确定性的σ2∪π2级上。这是考虑二阶逻辑比一阶集理论弱的原因。这听起来很自相矛盾。当一阶逻辑甚至无法表达有限，可算不可挡，不可估量等时，二阶逻辑如何具有所有功率和非第一阶属性，比基于一阶逻辑的集合理论弱？然而，定理4的信息是不可否认的。如果我们认为设定理论是空洞的单身人士的高级逻辑，也许这不会令人困惑。毕竟，设定理论允许对功率设置操作的无休止迭代，而二阶逻辑仅允许一次迭代。

我们从下面的小节开始，该小节可以通过二阶逻辑来表征一句话，直到同构。二阶逻辑模型理论的另一种方法是专注于具有较大红衣主教（不可访问，可测量的超级紧张的基数）特性的模型。这是第7.2节的主题。最后，在第7.3节中，我们考虑了允许§9.1中引入的所谓一般模型的可能性。在这种情况下，二阶逻辑变得非常类似于一阶逻辑。但是，当一般模型是所谓的亨金模型时，它们大多是有趣的，即它们满足所谓的理解公理。在亨金模型中，二阶逻辑满足了一阶模型理论中熟悉的紧凑性定理和其他原理，但尚无一般结构或分类理论，也许是因为理解公理会将许多复杂的结构带入模型中。

7.1二阶特征结构

如果有二阶句θa，则结构A是二阶特征的。

示例5：以下结构是二阶的特征：

自然数：（n，+，走气）。

实际数字：（ r，+，走气，0,1）。

复数数字：（c，+，走气，0,1）。

第一个无数序（ω1，＜）。

累积层次结构的水平（vκ，∈），其中κ是第一个强烈无法接近的基数＞ω。

第一个弱紧凑的红衣主教＞ω的井井（κ，＜）。

所有结构都可以表征二阶吗？只有许多二阶句子只有数量，因此只有许多（直至同构）二阶特征结构。因此，每种无限基数的结构都不是二阶可表征的。但是，举例来说并不容易。一个例子是（κ，＜），其中κ是第一个可测量的基本主教（＞ω）。有关说明，请参见第7.2节。另一个示例是（n，＜，a），其中a是一个二进制关系的词汇中有效的二阶句子的gödel数。有关说明，请参见第7.2节。有人可能会问是否有一个示例是由数学逻辑之外的数学实践引起的。那（r，+，×，＜，a），其中a是hamel的基础（在矢量空间的基础上，真实是向量，理性是标量，而矢量添加是对真实的通常添加）？相对于ZF的一致性是一致的，没有这种结构（R，+，×，＜，a）是二阶特征的（Hyttinen，Kangas，＆Väänänen2013）。

二阶特征结构的特殊属性是它们的还原也是二阶特征，因为我们可以使用存在的二阶量化器来“猜测”缺失的关系和功能。因此，找到具有尽可能多（但有限多）关系和功能的特征性结构很有趣。我们可以赋予n个有限数量的递归函数f1，…，fn和关系r1，…，rm获得结构（n，f1，…，fn，r1，…，rm），这是二阶的特征。我们可以将R赋予任何熟悉的分析功能，例如三角函数或收敛功率系列给出的任何其他功能，其系数由递归函数给出，结果是二阶的特征。

很容易看出，对于所有较大的二阶特征结构B的二阶特征结构A的二阶理论是可重新可再生理论的，对于所有二阶ϕ：

a⊨ϕ⟺b⊨∃p（θ

磷

一个

∧ϕP）。

特征性结构越大，较复杂的是二阶理论。没有最大的特征结构可以看如下：如果a是二阶的特征，那么将a还原为空词汇[8]，即基数| a | A的特征是。加兰（Garland，1974）研究了这样的基本数字。例如，如果κ是特征性的，则κ+和2κ也是如此。

如果ϕ是二阶句子，我们定义

mod（ϕ）= {m：m⊨ϕ}。

如果ϕ表征了模型A，则MOD（ϕ）只是模型类别与A类别。另一方面，有效的二阶句子的Gödel数量为π2-完整（定理4），因此不是σ2，尤其不是Δ2。这种沉思使我们在上面的定理3的以下扩展：

定理6（Väänänen2012）二阶有效性在任何二阶特征结构上都不能定义。

这就提出了一个问题，我们如何从二阶角度理解二阶有效性？鉴于上述定理，我们无法理解二阶有效性是可以在某些结构上以二阶逻辑表达的东西，这些结构本身可以用二阶逻辑表征。在理解二阶有效性方面，对集合理论的参考似乎不可避免。让我们从结构主义的角度讨论这可能意味着什么。帕森斯（Parsons）定义了结构性，如下所示：

通过数学对象的“结构主义观点”，我的意思是，对数学对象的引用始终在某些背景结构的背景下，并且所涉及的对象对它们的看法不如根据它们的基本关系来表达的观点结构。 （Parsons 1990：303）

从这种意义上讲，结构主义（对于其他类型的结构主义，参见，例如Hellman 2001）似乎很适合二阶逻辑框架。与集合理论相反，二阶逻辑始终假定一个基础（有限的）结构，该结构应该反映数学的一个特定方面，例如自然数的半环，实数的有序场，副本，副本的领域，排序的结构（ω1，＜）等。理想情况下，这些基础结构是二阶的特征。这导致了诸如有效性之类的普遍真理的问题，但也带来了较不复杂的问题，例如每个线性顺序都有完成的陈述，或者每个领域都有代数关闭。这样的普遍真理与任何特定的结构无关。

7.2二阶逻辑和大型红衣主教

我们指的是SEP参赛作品独立性和大型红衣主教以及大型红衣主教，并确定与大型红衣主教相关的概念的定义。

二阶逻辑和大型红衣主教模型理论之间的联系的以下早期结果是其他更微妙的结果的模型。这是一种二阶逻辑的下降löwenheim-skolem定理。它说，如果二阶句子具有可测量的基数的基数模型，那么它具有较小的子模型：

定理7（Scott 1961）假设κ是可测量的基础主教。如果ϕ是二阶句子，并且ϕ具有基数的模型κ，则对于每个X⊆M的基数＜\ kappa，都有\ mn \ subseteq \ mm，使得x \ subseteq n，| n | ＜\ kappa和\ mn \ models \ phi。 [9]

一个特殊的结果是，第一个可测量的基数不能以二阶为二阶作为空词汇的模型（第7.1节中所述的事实）。定理7非常类似于一阶逻辑的向下löwenheim-skolem定理。唯一的区别是，必须从一个大型模型开始，这是一个可测量的基数大小的模型。较小的红衣主教不需要工作。例如，如果\ lambda是最少弱紧凑的红衣主教＞ \ omega，则有一个句子\ phi，它的\ lambda（带有空词汇）是模型，但没有较小的模型。句子[10] \ phi说\ lambda是无法访问的（＞ \ omega），并且每个\ lambda-tree（一棵高度\ lambda，具有各个级别的大小＜\ lambda）的长度\ lambda。

如果我们要获得一个向下的löwenheim-skolem定理，该定理适用于任何结构，不仅用于可测量的基数结构，我们必须查看更大的红衣主教：二阶逻辑的LST数字定义为最小的cardinals。 （如果存在的话）\ kappa使得\ ma是任何结构，并且\ phi是\ ma中的二阶句子，那么\ ma中有一个子结构\ mb的\ mb \ ma of darcinatie ＜\ kappa这也满足\ phi。

定理8（Magidor 1971）存在二阶逻辑的LST数字，并且仅当存在超级紧张的红衣主教＞ \ Omega，然后是其中最小的。

如果每个二阶理论（大小的每个子集）具有模型，则二阶逻辑可以满足强\ kappa compactness，如果每个二阶理论都有一个模型。

定理9（Magidor 1971）最少的\ kappa使得二阶逻辑满足强\ kappa-carcactness是最不可扩展的基础主教。

7.3通用和亨金模型的模型理论

如果我们采用所谓的通用模型（§9.1），情况会完全改变。借助通用模型，二阶逻辑具有与一阶逻辑相似的模型理论属性，因为它可以简单地想到一阶排序的一阶逻辑（参见第§9.1和Manzano 1996）。总体而言，多组的一阶逻辑的结果立即转化为二阶逻辑。

8。可决定性结果

正如我们在§5.1中指出的那样，即使是空词汇的二阶理论也是不确定的。相比之下，单层二阶逻辑产生了许多重要的可决定性结果。让我们首先观察到（不仅在空词汇中，而且在空的词汇中），在一个单调的词汇中，即仅由单声道谓词组成的词汇，肯定是可以决定的，因为Löwenheim（1915年）已经证明了Monadic的二阶逻辑，这是可以决定的。关于形式逻辑的数学方面的最早论文。 Löwenheim的结果可以通过消除量词轻松证明，或者通过Ehrenfeucht-Fraïssé-Games的最新方法（请参阅第3节）。然而，单声道词汇中的单核第三（和较高）顺序逻辑，不仅在域内和域的亚集集中都具有量词，这是不可证实的（Tharp 1973）。现在，我们专注于不仅仅是修道院的词汇。

与单声道词汇相比，另一个极端可以描述如下：让P为非空置S上的三元谓词（“配对函数”）。假设每个x，y \ in s in s in s z \在s中，在p中，在p中，每个z \ in s in s in s中最多有一对（x，y），带（x，y，z）\。 - s的顺序理论是在（s，p）的单一理论中可以解释（Gurevich 1985）。换句话说，在存在配对函数的上下文中，如集合理论和数理论中，没有特殊优势来自将二阶逻辑限制在其单层片段中。

仅由单声道谓词组成的词汇的下一步是具有一个单一功能的词汇。在这种情况下，我们介绍了以下概念，该概念具有独立的兴趣：第一阶或二阶句子的频谱是其有限模型的一组。 Scholz引入了Spectra，请参见Durand，Jones，Makowsky等（2012年）。频谱当然总是递归的。实际上，一组自然数是在nexptime中的第一阶句子的频谱，即在指数时间内的非确定图灵机可以识别（Jones＆Selman 1974）。对于只有一个单一函数符号的句子，有一个令人惊讶的表征。如果有p＞0的自然数n和p，我们将最终称为周期性的一组自然数，以便对于n＞n的每个n，我们在s中都有n \。

定理10（Durand，Fagin和Loescher 1998; Shelah 2004）假设词汇仅具有一个单一功能。然后，当且仅当它是最终是周期性时，仅当它是第一阶句子的频谱时，一组自然数是一个单调的二阶句子的频谱。

在图中，Monadic二阶逻辑仍然可以表达最有趣的属性。例如，图形的连接性（此处为e是边缘关系）可以由句子表示

\ forall x（（\存在x \，x（x）\ land \ forall x \ forall y（（x（x（x）\ land xey）\ to x（y）））\ to \ forall x \，x \，x（x（x） ））

以及图表的3色色

\ begin {align}＆\ cestist x \，\存在y \，\存在z（\ forall x（x（x）\ lor y（x）\ lor z（x））\ land {} \\ quad \ forall x \，\ forall y（（（x（x（x）\ land x（y））\ lor（y（x）\ land y（y））\ lor（z（x）\ land z（y） ）\到{}\\ ＆\ quad \ neg xey））\ end {align}

在线性订单，树木和图形上，有许多可决定性的结果。

定理11（Büchi1962; Elgot 1961; Rabin 1968）（\ on，s）的单层二阶理论，即，在\ on和完整的无限二进制树上的后继函数，即两个后继者，即两个后继函数，在\ on上函数\ on \ on \ on ，都是可决定的。