库尔特·哥德尔（一）

1. 传记概要

2. 哥德尔的数学著作

2.1 完备性定理

2.1.1 简介

2.1.2 完备性定理的证明

2.1.3 完备性定理的一个重要结论

2.2 不完备性定理

2.2.1 第一不完备性定理

2.2.2 第一不完备性定理的证明

2.2.3 第二不完备性定理

补充文件：不完备性定理是否反驳了希尔伯特纲领？

2.3 加速定理

2.4 哥德尔在集合论中的工作

2.4.1 连续统假设与选择公理的一致性

2.4.2 哥德尔关于连续统假说和选择公理与策梅洛-弗兰克尔集合论公理一致性的证明

2.4.3 一致性的后果

2.4.4 哥德尔的可构造性公理观点

2.5 哥德尔在直觉逻辑和算术方面的工作

2.5.1 直觉命题逻辑不是有限值的

2.5.2 经典算术可以用海廷算术来解释

2.5.3 直觉命题逻辑在S4中是可解释的

2.5.4 Heyting 算术可解释为有限类型的可计算泛函。

补充文件：哥德尔文件

三、哥德尔的哲学观点

3.1 哥德尔的理性主义

3.2 哥德尔的实在论

补充文件：哥德尔转向现象学

补充文件：关于数学内容的哲学论证

参考书目

主要来源

哥德尔的著作

库尔特·哥德尔论文集

库尔特·哥德尔选集

二手资料

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 传记概要

库尔特·哥德尔于 1906 年 4 月 28 日出生于当时的奥匈帝国城市布伦，即现在的捷克共和国布尔诺。

哥德尔的父亲鲁道夫·奥古斯特是一名商人，母亲玛丽安是一位受过良好教育、有教养的女性，哥德尔一生都与她保持着亲密的关系，他们之间长期而广泛的通信就证明了这一点。哥德尔的家庭富裕，他的童年也很平静，只有一个重要的例外。也就是说，从四岁左右开始，哥德尔的健康状况就经常恶化，当时所遭受的健康问题以及其他各种各样的健康问题困扰着他一生。

尽管存在健康问题，哥德尔在小学和后来的中学中都被证明是一名模范学生，尤其在数学、语言和宗教方面表现出色。 1924 年从布尔诺中学毕业后，哥德尔就读于维也纳大学，参加他最初感兴趣的物理学讲座、海因里希·冈佩尔茨 (Heinrich Gomperz) 的哲学讲座以及数学讲座。哥德尔在本科期间选修了许多物理课程，他的大学成绩单证明了这一点；鉴于哥德尔随后在 1947 年对相对论做出的贡献，这一点值得注意。伟大的德国指挥家威廉·富特文格勒的表弟菲利普·富特文格勒是他的数学教授之一，事实上，富特文格勒的阶级场论课程几乎诱使哥德尔继续他的研究：区域。哥德尔从鲁道夫·卡尔纳普和汉斯·哈恩那里学习了他的逻辑，最终在哈恩的指导下获得了哲学博士学位。 1929 年获得数学博士学位。他论文的主要定理是一阶逻辑的完备性定理（Gödel 1929）。[2]

哥德尔的大学时代也标志着他开始参加维也纳圈子的会议，这是一个围绕莫里茨·施利克的团体，很快被称为“逻辑实证主义者”，这个术语是由费格尔和布隆伯格在 1931 年的《逻辑实证主义：一场新的运动》中创造的。欧洲哲学”（Feigl 和 Blumberg 1931）。尽管哥德尔本人并不是逻辑实证主义者，但这些讨论对他的形成产生了至关重要的影响。

20 世纪 30 年代对于哥德尔来说是非凡的十年。在 1930 年发表 1929 年的论文后，他于 1931 年发表了开创性的不完备性定理，据此他于 1932 年获得了资格证书，并于 1933 年获得了维也纳大学的私人讲师资格。

他在这十年结束时取得的数学成就之一是证明了分别于 1935 年和 1937 年获得的选择公理和康托连续统假设与集合论的 Zermelo-Fraenkel 公理的一致性。在此期间，哥德尔还发表了许多关于模态和直觉逻辑和算术的重要论文，其中主要的是他的“论直觉算术和数论”（Gödel 1933e），其中他表明经典的一阶算术可以解释为海廷算术通过简单的翻译。 20 世纪 30 年代的其他出版物包括关于谓词微积分的决策问题、关于证明的长度以及关于微分和射影几何的出版物。

到这个十年末，哥德尔的顾问汉斯·哈恩和莫里茨·施里克都去世了（后者被一名前学生暗杀），这两件事导致了哥德尔的个人危机。此外，他在大学的任命，Privatdozentur，被取消，取而代之的是“Dozentur neuer Ordnung”职位，只有在通过种族测试后才授予候选人。 [3]哥德尔在那十年期间三次前往美国引发了调查。 （参见 Sigmund 2006。）最后，纳粹政府于 1939 年认定哥德尔适合服兵役。

所有这些事件都对他于 1940 年离开奥地利的决定产生了决定性影响，当时他和妻子阿黛尔移民到了美国。约翰·道森（John Dawson）在他的哥德尔传记《逻辑困境》（Dawson 1997）中以及所罗门·费弗曼（Solomon Feferman）在《哥德尔的生活和工作》（Feferman 1986）中叙述了他们一生中这段漫长而艰难的经历。读者被提及。

抵达后，哥德尔被任命为高等研究院的普通会员。他于 1946 年成为该研究所的永久会员，并于 1953 年获得教授职位。（哥德尔和他的妻子于 1948 年 4 月获得美国公民身份。）他将留在该研究所直至 1976 年退休。哥德尔一家再也没有回来到欧洲。

哥德尔在研究所的早年以他与日常散步伙伴阿尔伯特·爱因斯坦的亲密友谊以及他转向数学哲学而闻名，哥德尔从 1943 年左右开始几乎完全专注于数学哲学领域。随后他一生对哲学的投入是富有成果的（就出版物而言）：1944 年，他发表了第一篇哲学论文，题为“论罗素的数理逻辑”（哥德尔） 1944 年），1947 年他发表了第二篇论文，题为“什么是康托连续统假设？” （哥德尔 1947）。 1949 年，他出版了第三本著作，题为《关于相对论与唯心主义哲学之间关系的评论》。 （哥德尔 1949a）。后一篇论文与他在 1949 年获得的关于相对论中旋转宇宙的结果相吻合，该结果首次发表在一篇题为“爱因斯坦引力场方程的新型宇宙学解决方案的例子”的文章中。 （哥德尔 1949）。

在哥德尔 20 世纪 40 年代的其他重要哲学著作中，必须算上他 1941 年题为“直觉逻辑在什么意义上是建构性的？”的演讲。 （Gödel *1941）其中引入了“有限类型的可计算函数”的概念。基于演讲中思想的论文“Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des Finiten Standpunktes”直到1958年才发表，其中将海廷算术解释为无量词演算T，被称为“辩证法解释” ，”以发表该文章的期刊命名（Gödel 1958）。 （有关 1972 年以来的修订，请参见 Gödel 1995。）最后，这十年见证了哥德尔对莱布尼茨的深入研究的开始，据哥德尔报道，这一时期为 1943 年至 1946 年。 [4]

20 世纪 50 年代，哥德尔加深了对哲学的参与：1951 年，哥德尔在布朗大学发表了一场哲学讲座，通常称为吉布斯讲座，题为“关于数学基础的一些基本定理及其哲学含义”（Gödel *1951） 。 1953 年至 1959 年间，哥德尔向 Schilpp 的鲁道夫·卡尔纳普 (Rudolf Carnap) 卷提交了一篇题为“数学是语言语法吗？”的论文。 （哥德尔*1953/9-III，哥德尔*1953/9-V）。哥德尔一生中都没有出版这两部重要的手稿，尽管这两部手稿都出现在哥德尔 Nachlass 中的两个清单中，标题为“Was ich publizieren könnte”。 （英文：“我可以发表什么。”这两份手稿最终都出现在《哥德尔》1995 年的著作中。）到了这个十年末，哥德尔对现象学产生了浓厚的兴趣。 [5]

哥德尔的最后几年因其两份手稿的流通而闻名：“一些考虑导致了连续统的真正力量是 ℵ2 的可能结论”（Gödel *1970a，*1970b）他试图从连续统的价值中得出连续统的价值。豪斯多夫所谓的尺度公理，以及他的“Ontologischer Beweis”（哥德尔*1970） 1970 年委托给 Dana Scott（尽管它似乎是更早写的）。总而言之，这两份手稿是一个人的遗言，他在五十年的数学和哲学研究中，一直在追求，或者更准确地说，在一个标题下寻找追求这两个主题的基础：“加强科学”——这种思想转变从哥德尔 1929 年开始就已经存在了，当时他 23 岁，他的博士论文以一些哲学评论作为开篇。

1978年1月14日，哥德尔在普林斯顿去世，享年71岁。他的死亡证明上记录的死因是“由于人格障碍，导致饥饿和营养不良”。他的妻子阿黛尔比他多活了三年。

有关更多传记材料，请参阅 Gödel 1987、Kleene 1987、Kreisel 1980、Taussky-Todd 1987 和 Yourgrau 2005。

2. 哥德尔的数学著作

下面是对哥德尔在逻辑和集合论方面的一些主要贡献的考察。对哥德尔技术工作的这种处理并不详尽，省略了对哥德尔物理学工作和决策问题工作的讨论。这些将在本条目的后续内容中进行处理。

要了解哥德尔著作的完整年表，读者可以参考约翰·道森 (John Dawson) 编撰的《哥德尔全集》第一卷（Gödel 1986，第 37 页）。

2.1 完备性定理

2.1.1 简介

一阶谓词演算的完备性问题在 1928 年由 Hilbert 和 Ackermann 在他们的著作《Grundzüge der theoretischen Logik》（Hilbert and Ackermann 1928）中被精确地阐述并首次出版，哥德尔对这本著作相当熟悉。 [6]

希尔伯特和阿克曼提出的问题是，一阶谓词演算的某个明确给定的公理系统“……在可以导出对个体的每个域正确的所有逻辑公式的意义上是完整的……”（van Heijenoort 1967 ，第 48 页）。

2.1.2 完备性定理的证明

我们在哥德尔的博士论文中概述了他自己的证明（Gödel 1929）。与早期的努力（在下面和其他地方讨论，例如 Zach 1999）的一个本质区别是哥德尔仔细地定义了所有相关的基本概念。

哥德尔术语中的“逻辑表达式”是一个没有恒等式的格式良好的一阶公式。如果一个表达式的否定是可证明的，则它是“可反驳的”；如果它在每种解释中都为真，则它是“有效的”；如果它在某些解释中为真，则它是“可满足的”。完备性定理表述如下：

定理1。

每个有效的逻辑表达式都是可证明的。同样，每个逻辑表达式要么是可满足的，要么是可反驳的。

哥德尔的证明微积分是希尔伯特和阿克曼文本中的证明微积分。如果所有量词都出现在开头，则表达式为正规形式。表达式或公式的阶数是公式开头的量词交替块的数量，假定以全称量词开头。哥德尔表明，如果完备性定理对于 k 次公式成立，那么它对于 k + 1 次公式也一定成立。因此，完备性问题简化为 1 次公式。也就是说，要证明任何正规公式 (Q 1 度的 )φ 要么是可满足的，要么是可反驳的，其中“(Q)”代表一个（非空）全称量词块，后面跟着一个（可能是空的）存在量词块。

哥德尔定义了一种簿记工具，它是由于满足 (Q) 所规定的 φ 的需要而产生的所有变量元组的良好排序。例如，如果 (Q)φ 是 ∀x0∃x1ψ(x0, x1)，我们列出无量词公式 ψ(xn, xn+1)。 （或者更准确地说，这些的有限连词的长度不断增加。见下文。）然后在由不同 xn 的值组成的任何域中，其中每个 ψ(xn, xn+1) 为真，句子 (Q)φ显然是真的。一个关键引理声称对于每个 k，公式 (Q)φ → (Qk)φk 的可证明性，其中无量词公式 φk 断言 ψ 对于从 (Q) 产生的变量的第 k 个元组的所有元组的真实性，(Qk)φk 是 φk 的存在闭包。 （参见下面的例子，其中给出了 φk′s 的定义。）这个引理是由于 Löwenheim 和 Skolem 的各种早期证明尝试中缺少的主要步骤，并且在一阶完备性定理的背景下逻辑，使语法和语义之间的联系完全明确。

让我们考虑一个例子，说明如何按照哥德尔方法发现特定公式可满足或其否定可证明：考虑 φ = ∀x0∃x1ψ(x0, x1)，其中 ψ(x0, x1) 是无量词的。我们证明这要么是可反驳的，要么是可满足的。我们做出以下定义：

φ0 是表达式 ψ(x0, x1)

φ1 是表达式 ψ(x0, x1) ∧ ψ(x1, x2)

……

φn 是表达式 ψ(x0, x1) ∧ …∧ ψ(xn, xn+1)。

上面提到的关键引理表明，我们可以从 φ 导出每个 n，∃x0…∃xn+1φn。

情况1：对于某些n，φn 是不可满足的。然后，哥德尔使用已知的命题逻辑完备性定理，[7] 证明 Øφn 是可证明的，因此 ∀x0,..., xn+1Øφn 也是可证明的。因此 Ø∃x0…∃xn+1φn 是可证明的，因此 Øφ 是可证明的，即 φ 在希尔伯特-阿克曼系统中是可反驳的。 （除了已经提到的结果之外，关于命题逻辑的一些部分结果还包括 Post (1921) 提出的命题演算的语义完整性，以及 1918 年 Bernays 提出的更一般的完整性定理；后者出现在 Bernays 中' 1918 年未出版的 Habilitationsschrift；另见 Bernays 1926。）

情况2：每个φn都是可满足的。宇宙 {x0,…,xn+1} 的可能模型只有有限个。如果 M 是 M' 的子模型，哥德尔通过将模型 M 定义为低于模型 M' 将它们排序为树。这样我们就得到了一棵分支有限但无限的树。根据柯尼希引理，存在一个无限分支 B。（在证明中，哥德尔明确地构造了柯尼希引理给出的分支，而不是直接引用它的名称。）B 上模型的并集形成了一个模型 M，其中宇宙 {x0, x1, …}。由于M满足每个φn，所以原公式φ在M中成立。所以φ是可满足的，我们就完成了。

请注意，在哥德尔证明的可满足性情况下，该模型始终是可数的。因此，完备性定理的证明也给出了 Löweheim-Skolem 定理（见下文）。哥德尔将结果扩展到可数多个公式以及具有恒等式的一阶逻辑的情况。他还证明了公理的独立性。

1930 年，哥德尔发表了基于他的论文 (Gödel 1930) 的论文，值得注意的是其中仅含蓄地在论文中包含了紧性定理。哥德尔在 Gödel 1930 中提出的定理如下：当且仅当这些公式的每个有限子集都可满足时，可数无限组量化公式才是可满足的。哥德尔利用紧致性推导了完备性定理。

Maltsev 于 1936 年将紧致性定理扩展到不可数词汇的情况（参见 Mal’cev 1971），由此产生了向上 Löwenheim-Skolem 定理。紧性定理将成为当时新兴的模型理论学科的主要工具之一。

2.1.3 完备性定理的一个重要结论

如果一种理论只有一个达到同构的模型，则该理论被称为是绝对的。如果它只有一种基数 λ 模型（直至同构），则它是 λ 分类的。完备性定理的主要后果之一是皮亚诺算术和策梅洛-弗兰克尔集合论的范畴性失败。

详细地说，对于一阶皮亚诺公理（以下简称 PA），它们的非标准模型的存在实际上是由完整性和紧致性得出的。人们构建这些包含无限大整数的模型，如下所示：将一个新的常量符号 c 添加到算术语言中。通过添加无限的公理集合，将 PA 扩展到新的理论 PA*：{c＞0, c ＞1, …}，其中，例如 3 是 S(S(S(0)))。 PA* 是有限一致的（即 PA* 的每个有限子集都是一致的），因此是一致的，因此根据完整性定理，它有一个模型。

哥德尔在当时与完备性定理相关的任何出版物中都没有指出这个关于皮亚诺算术模型的简单事实，并且似乎直到很久以后才被一般逻辑界注意到。 Skolem 从 1933 年开始的可定义超幂构造（参见 Skolem 1933）给出了真实算术的非标准模型的直接构造（它扩展了皮亚诺算术，是自然数中真实的算术句子的集合）。但斯科伦从未提及这样的事实：此类模型的存在源自完备性和紧性定理。哥德尔在对斯科勒姆论文的评论（1934c）中也没有提及这一事实，而是指出算术范畴性的失败源于不完备性定理。

至于集合论，范畴性的失败已经被 Skolem 于 1923 年注意到，因为它遵循 Löwenheim-Skolem 定理（Skolem 当年得出的；参见 Skolem 1923，基于 Löwenheim 1915 和 Skolem 1920）：具有模型的可数语言中的一阶理论具有可数模型。

Skolem 的观察认为集合论的范畴性失败了，因为它有可数的模型，现在被称为 Skolem 悖论。[8]Skolem 的论文中强烈强调了这一观察结果，相应地题为“集合论公理基础的观察”，因为他在结论中写道，他早在 1915 年就没有指出集合论中的相对论，因为：

……首先，我同时还忙着处理其他问题；其次，我相信，很明显，集合的公理化并不是令人满意的数学终极基础，以至于数学家在很大程度上不会太关心它。但最近我惊讶地发现，如此多的数学家认为集合论的这些公理为数学提供了理想的基础；因此，在我看来，是时候发表批评了。 （英文翻译取自 van Heijenoort 1967 年，第 300 页。）