遍历层次结构（三）

但是，鲍尔茨曼知道，除非可以根据系统的动力学来证明假设是合理的，否则简单地假定P（MJ）=Cμ（MJ）不会解决问题。这是Ergodicity进入现场的地方。正如我们上面看到的那样，厄贡系统具有在相位空间的每个部分中花费一小部分时间的特性，该时间与其大小成正比（相对于μ）。正如我们也看到的那样，平衡状态是最大的宏观盐。实际上，平衡状态比其他状态大得多。因此，如果我们假设系统是千古的，那么大多数情况下它是平衡的！这样很自然地将P（MJ）解释为时间的平均值：P（MJ）是系统在随着时间的流动过程中在状态MJ上花费的时间的一部分。现在，我们在我们面前拥有Boltzmann框架的主要要素：（a）将系统的相位空间划分为宏观，并表明平衡状态是迄今为止最大的状态； （b）采用概率的时间平均解释； （c）假设所讨论的系统是千古的。然后得出结论，该系统最有可能在平衡中找到，这证明了第二定律的（概率版本）是合理的。

针对这种思路提出了三种反对意见。首先，可以指出，假设恐怖性在两种方面太强。首先，事实证明，很难证明感兴趣的系统确实是奇异的。与有时断言的相反，即使是在带有硬反射墙的立方盒中移动的N弹性硬球系统也没有被证明是任意n的真人。事实证明，它仅在N≤4中是恒星。对于这一指控，人们可以回答说，看起来像是失败的，对他人来说似乎是一个挑战。数学的进展最终可能会解决这个问题，并且最近至少有一个结果证明了乐观的合理性：Simanyi（2004）表明，在尺寸3或更大的圆环上的n个硬球系统是千古的，对于任意的自然数字n 。

崇高性似乎太强大的第二种方式是，即使我们最终可以通过相关系统的千古证明来实现，假设太强烈了与第二定律。 Bricmont（2001）研究了KAC环模型和一个与相同质量的非耦合的非谐振荡器的系统，并指出两个系统都表现出热力学行为，但它们没有刻薄。因此，热力学行为不是必需的。 Earman and Redei（1996，p。70）和Van Lith（2001，p。585）认为，如果对热力学行为不是必需的，那么厄尔及性就无法为这种行为提供令人满意的解释。在系统不是颈性的情况下，必须有其他属性来解释热力学行为，或者对于即使对于麦金太地区的系统，对于这种平衡方法也必须完全不同的解释。

为了应对这一异议，Vranas（1998）以及Frigg和Werndl（2011）认为，大多数未能成为ergodic的系统都以特定的方式“几乎是千古的”，这已经足够了。在讨论Gibbsian SM时，我们在下面讨论Vranas的方法，因为这是他提出的建议。 Werndl and Frigg（2015a，2015b）提供了Boltzmannian平衡的替代定义，并利用了厄尔贡分解定理，以表明即使系统不是麦古德型，它也会大部分时间花费在平衡中，如Boltzmann所设想的那样，定理说，每个度量保存系统的相位空间都可以分为各个部分，以便在每个部分上进行动态参见Petersen 1983）。 Frigg（2009）建议利用这样一个事实，即几乎所有的汉密尔顿系统都是不可集成的，并且这些系统具有所谓的Arnold网络，即系统运动的运动是奇异的相位空间的大区域。 Lavis（2005）重新审视了KAC环模型，并指出，即使系统不是奇异的，它具有千古化的分解，足以保证平衡的方法。他还挑战了上述批评中隐含的假设，即提供平衡方法的解释等于确定所有系统具有共同点的一个（也是一个！）财产。实际上，可能是不同属性负责不同系统中平衡方法的原因，并且没有理由排除这种解释。总而言之，所有这些反应的男高音是，即使朴素的简单性可能没有资源来解释平衡的方法，但有点合格的属性也是如此。

第二个反对意见是，即使实现了雄性，这也不足以给我们我们所需要的东西。正如我们在上面看到的那样，Ergodicity具有“几乎到处”的资格。这种资格通常被理解为表明零度零的集合可以忽略而不会损害。这个想法是，落入一组零度的点是“稀疏”，因此可以忽略。此举是否合法的问题称为“测量零问题”。

由于各种原因，仅忽略零度的量度零似乎是有问题的。首先，一组零的度量可能是“大”的。例如，有理数在实际数字内测量零。此外，如果将一组零的度量零是（甚至显示）可以忽略不计，如果将集合相对于其措施以外的其他属性进行了比较。例如，我们可以根据其基数或Baire类别而不是按其措施来判断设置的“大小”，这使我们对该集合的大小得出了不同的结论（Sklar 1993，第182-88页）。假设不可能发生零度的事件，这也是一个错误。实际上，测量零和不可能是不同的概念。该系统在某个时候是否处于一个特殊的初始条件之一，即空间和时间均值不相等的是一个事实问题，无法通过对措施的上诉解决；指出，从衡量意义上讲，这种观点确实可以解决问题，因为它并不意味着它们在世界上也很稀缺。

作为回应，可以说两件事。首先，零度的折扣集零是物理学的标准实践，问题并非特定于厄贡理论。因此，除非有充分的理由怀疑特定措施零状态实际上很重要，否则人们可能会争辩说，举证责任是对那些认为在这种情况下打折的人是违法的。其次，在许多情况下，SM起作用的事实表明它们确实很稀缺。

第三次批评很少明确表达出来，但显然是在当代Boltzmannian SM的背景下，例如Albert（2000），该方法拒绝了Boltzmann的起点，即假定的P（MJ）=Cμ（MJ）。阿尔伯特（Albert）提出了一个替代的假设，从本质上讲，在所谓的过去假设中有条件地提供了两个宏观的过渡概率，这是宇宙在低熵状态（大爆炸）中出现的疑问。阿尔伯特随后辩称，在这样的叙述中，真诚性变成了一个闲置的轮子，因此他拒绝了它与SM的基础完全无关。但是，这可能太匆忙了。尽管真实性简单的人无法证明阿尔伯特的概率假设是合理的，但需要另一个动态假设才能使这一假设为真（Frigg 2010）。

4.2 Gibbsian SM

在吉布斯的方法基础上，概念上的转变。 Boltzmannian框架中的研究对象是一个单独的系统，由大量但有限的微型成分组成。相比之下，在Gibbs框架中，研究对象是一个所谓的合奏：一个虚构的同一系统的无限副本集合（它们是相同的相同的相同的相位空间，动力学和度量），但是谁）碰巧在不同的州。例如，一个气体的合奏包括在不同状态下无限多个同一气体的副本组成：一个集中在盒子的左角，一个均匀分布，等等。或“正在考虑的一个系统的心理副本”（Schrödinger1952，3）；或者，可以将它们视为整个系统可能状态的集合。因此，重要的是不要将合奏与诸如气体分子之类的微型物体集合混淆！

一个集合系统的一个系统的瞬时状态在其相空间中由一个点指定。因此，整个集合的状态由系统相空间上的密度函数ϱ指定。从技术的角度来看，ϱ是一个像我们在第1节中遇到的F一样的函数。我们此外，假设ϱ是概率密度，反映了从区域中整个集合中随机选择系统状态的概率密度r，使得状态在R中的概率为p（r）=∫rϱdμ。为了使这个更直观考虑以下类比。您会玩一种特殊的飞镖：将木板固定在墙上，用作飞镖板。由于某种原因，您知道您的飞镖降落在板上的特定位置的可能性由图7中所示的曲线给出。然后，您被问到您的下一个飞镖降落在板的左半部分。答案是1⁄2，因为曲线下方的一半的表面位于左侧。然后，飞镖板扮演系统的状态空间的角色，板的一个区域（左半部分）扮演R的角色，并抛出Dart扮演着从合奏中挑选系统的角色。

图7

图7：飞镖板

这样做的重要性是，它允许我们计算期望值。假设游戏是这样，如果飞镖落在右半落在左半左右的情况下，您会得到一磅。您的预期收益是什么？答案是1⁄2×1磅+1 ⁄ 2×3磅= 2磅。这是期望值。同样的想法也在SM中起作用。例如，例如，压力与相位速度上的功能F相关。然后，我们计算这些幅度的期望值，通常由⟨f⟩=∫fdμ给出。在Gibbsian SM的背景下，这些期望值也称为阶段平均值或集合平均值。它们具有至关重要的重要性，因为这些值用作观察值的预测。因此，如果您想使用形式主义预测实验中会观察到的内容，则首先必须弄清楚概率密度是什么，然后找到与您感兴趣的物理数量相对应的函数f，然后计算阶段平均值。这些步骤在实践中都不容易，并且工作人员大部分时间都花费了这些计算。但是，如果我们对这种“食谱”的概念问题感兴趣，这些困难就不必占据我们。

根据定义，如果概率密度不随时间变化，则概率密度是静止的。鉴于可观察到的数量与相平均值相关，并且根据表征系统的宏观参数的恒定量来定义平衡，因此自然地将分布的平稳性视为平衡的必要条件，因为固定分布会产生恒定平均值。因此，吉布斯（Gibbs）将平稳性称为“统计平衡状况”。

在满足进一步要求的所有固定分布中，Gibbsian的最大熵原理起着特殊的作用。 Gibbs熵（有时称为“整体熵”）被定义为

sg（ϱ）= - kb∫ϱlog（ϱ）dμ。

然后，吉布斯（Gibbsian）最大熵原理要求鉴于系统上施加的约束，SG（ϱ）是最大的。[16]

最后一个子句是必不可少的，因为不同的约束单位单位不同。一个常见的选择是将能量和粒子数保持在系统固定的过程中。人们可以证明，在这种情况下，SG（ϱ）对于所谓的微型典型分布（或微型典型集合）是最大的。如果我们选择保持颗粒的恒定数量，同时允许在给定平均值围绕能量波动，我们将获得所谓的规范分布。如果我们还允许粒子围绕给定的平均值波动，我们会发现所谓的大型典型分布。[17]

这种形式主义非常成功，因为可以为大量的系统得出正确的预测。但是这种形式主义的成功令人困惑。第一个也是最明显的问题涉及系统和合奏的关系。 Gibbs方法中的概率分布是在整体上定义的，形式主义提供了合奏平均值，平衡被视为合奏的属性。但是，我们真正感兴趣的是单个系统的行为！合奏的属性（一个由真实系统的许多精神副本组成的虚构实体）可以探讨我们对实验室表上的一个真实系统的估计？更具体地说，为什么在整体上平均与在平衡中实际物理系统上执行的测量值中发现的值一致？没有明显的理由应该这样做，事实证明，恐怖性在回答这些问题中起着核心作用。

普通教科书的智慧证明使用阶段平均值如下。如我们所见，吉布斯形式主义将物理数量与系统相空间的功能相关联。进行测量数量之一的实验需要时间，并且假定测量设备寄存器不是所讨论的函数的瞬时值，而是其在测量过程中的时间平均值。因此，时间平均值在经验上可以访问。然后，该论点继续进行，尽管测量值需要按人体标准的时间短的时间，但与微观时间尺度相比，它的时间很长。因此，假定测得的有限时间平均值大约等于所测量函数的无限时间平均值。如果我们现在假设系统是千古的，则时间平均相等的相位平均。后者很容易从形式主义中获得。因此，我们发现了备受追捧的联系：Gibbs形式主义提供的平均值，这是由于千古性等于无限的时间平均值，并且这些平均值与从测量值获得的有限时间平均值相等。

这个论点至少有两个原因是有问题的。首先，从测量值花费一定时间的事实中，实际上实际测量的是时间平均值。例如，可能是通过测量设备提供给我们的价值仅仅是测量的最后时刻所假定的值，而不论先前的值是什么（例如，这只是最后一次注册的指针读取） 。因此，我们需要一个论点，即测量确实产生时间平均值。其次，即使我们认为测量值确实会产生有限的时间平均，将这些平均值等同于无限时间平均也是有问题的。即使按实验标准（不必是这样），测量的持续时间很长，有限和无限平均也可能假定非常不同的值。这并不是说它们一定必须与众不同。他们可以重合。但是，他们是否做的是一个经验问题，取决于正在调查的系统的细节。因此，在用无限时间平均替换有限的时，需要注意，而没有进一步的论点就无法识别它们。

Malament和Zabell（1980）通过提出一种解释仍然引用千古关系的平衡理论成功的方式来应对这一挑战，但避免了时间平均。这解决了上述问题，但困难的困难是，SM的形式主义成功处理的许多系统都不是令人难以置信的。为了避免这种困难，Vranas（1998）建议用他所谓的ε-结构性代替奇迹性。如果系统不在整个相位空间，而是在很大一部分上（那些不是具有测量ε，ε非常小的部分），则直观地是ε-凝学的。他的方法背后的主要思想是挑战普遍认为的信念，即即使系统只是一个“小”非共性，它也以一种完全“非共性”的方式行为。 Vranas指出，有一个中间立场，然后认为这一中间立场实际上为我们提供了我们所需的一切。这是一个有前途的建议，但面临三个挑战。首先，需要证明所有相关系统实际上都是ε-结构性。其次，到目前为止，该论点仅是针对微型典型合奏而提出的，但是人们想知道是否以及这样的话，它为规范和孙子合奏而言。第三，它仍然基于以下假设：平衡的特征是固定分布，正如我们将在下面看到的那样，在制定可行的Gibbsian非平衡理论时，这是一个障碍。

第二个回应始于Khinchin的工作。 Khinchin（1949）指出，厄运计划的问题是由于它专注于一类系统的事实。我们不应在一般层面上研究动力系统，而应关注与统计力学相关的情况。这涉及两个限制。首先，我们只需要考虑具有大量自由度的系统。其次，我们只需要考虑一类特殊的相位功能，即所谓的“总和”。这些函数是单粒子函数的总和，即仅考虑一个粒子的位置和动量的函数。在这些假设下，khinchin证明，随着n的较大，在能量高度表面[18]的量度中，时间和空间含义的差异远大于少量趋向于零。粗略地说，这个结果表明，对于所有实际目的而言，系统都表现出来，就好像它是奇异的。

该结果的问题在于它仅适用于总和函数，尤其是仅当系统的能量函数本身就是一个和函数时，当粒子相互作用时，这不是这种情况。因此，问题是如何将此结果推广到更现实的情况。这个问题是一个研究计划的起点，该研究计划现在称为热力学限制，以及兰福德，Mazur，Ruelle和van der Linden等人（有关调查）。它的主要问题是，在互动术语中，是否仍然可以证明“像khinchin”的情况。[19]如果系统的体积V趋向于无穷大，则可以证明这种结果在n→∞的极限中。

到目前为止，我们只处理平衡，一旦我们转向非平衡，情况就会变得更糟。主要问题是，吉布斯熵是一个常数的形式主义的结果​​！这排除了在增加Gibbs熵方面的平衡方法的表征，如果我们将Gibbs熵视为热力学熵的SM对应物，那么这就是人们期望的。围绕此问题的标准方法是粗粒相位空间，然后定义所谓的粗粒吉布斯熵。

简而言之，对相空间进行粗细化相当于在相空间上放置一个网格，并声明网格一个单元内的所有点都是不可区分的。该过程将连续相空间转换为离散的单元集合，然后通过系统状态所在的单元来指定系统的状态。如果我们在这个网格上定义吉布斯熵，结果（纯粹出于数学原因）熵不再是一个常数，并且实际上可以增加或减少。如果假设系统是混合的，则根据遍历理论的所谓收敛定理，粗粒度吉布斯熵接近最大值。然而，这个解决方案充满了争议，争论的两个主要焦点是粗粒度的合理性和系统混合的假设。

总之，遍历性在许多证明 SM 假设的尝试中发挥着核心作用。即使简单地使用遍历性最终不成功，经过一些修改的概念在分析问题和寻找更好的解决方案方面也被证明是富有成效的。

5. 遍历层次结构和随机性

EH 通常表示为确定性系统中随机性程度不断增加的层次结构：系统在该层次结构中的位置越高，其行为就越随机。 [20]然而，不同级别的 EH 的定义并没有明确诉诸随机性；呈现 EH 的通常方式也不涉及对被认为是层次结构基础的随机性概念的规范。因此，存在一个问题：EH 背后的随机性概念是什么，以及 EH 在什么意义上是随机行为的层次结构。

Berkovitz、Frigg 和 Kronz (2006) 讨论了这个问题，并认为如果随机性用不可预测性来解释，那么 EH 最好被理解为随机行为的层次结构，其中不可预测性是用概率相关性来解释的。反过来，概率相关性的不同模式是通过不同时间系统状态之间相关性的不同类型的衰减来阐明的。让我们逐一介绍这些要素。