学神 (2-1)

秦慧回到教室温若雯就说老师和你说什么了，秦慧就说没什么一些考试的问题。

温若雯就没想什么了，上课铃响了秦慧和温若雯坐回位置上。

老师一进来就看了秦慧一眼就准备讲试卷。

讲试卷前老师开口说秦慧站起来。

秦慧不知道为什么要叫她站起来，她站起来了。

老师说你知道我为什么叫你起来吗？

秦慧说不知道。

老师就说最后一道大题只有你做对了但是前面的小题你不做是为什么呢？还是说你的学习态度有问题？

温若雯听到老师这么讲看着秦慧，秦慧低头看了一下温若雯轻轻摇头。

秦慧说：“老师是这些题太简单了不想浪费时间我就没有写。”

老师就说：“你这样是对老师的不尊重，这些题是我们很多学校一起出的都有一定难度，你上课又没有怎么听过课你是怎么会写最后一道大题的。”

秦慧说：“就是很简单你在质疑我作弊吗？”

其他人都在小声讨论老师说的也没错她前面的题都不写还写对了最后一道大题，温大神都没有写对。

其他人的窃窃私语也传到了秦慧温若雯的耳朵。

温若雯就站起来说：“老师秦慧没有作弊，最后一道大题她教过我，我也会了。”

其他人又窃窃私语起来温大神都这么说了应该不会有假吧。

但是学生中就有几个比较欠打脸的人出来说：“温若雯你和秦慧是玩的最好的我们怎么不会想是你帮她说话呢”

温若雯失语，不知道该怎么说的确她是和温若雯玩的最好，被人说偏袒秦慧也没有错。

秦慧说：“不信的话那我上去写题。”

老师就说好我出上两届的一道很难的大题给你做，做出来我就相信你的实力。

秦慧就说：“你出题。”

其他人都带着看戏的目光盯着秦慧。

也有一些学霸拿好纸笔也想尝试老师出的题。

已知数列 \{a_n\} 满足 a_1 = 1 ，且对于 n \geq 2 ，有 a_n = a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} 。求证：对于任意正整数 n ，都有 a_n > \sqrt{2n} 。

这个就是老师出的题。

温若雯眉头紧锁想这不是我们还没学的题目吗。

其他人也看不懂。

秦慧上去就边写边说。

1. 数列的递推关系和单调性:• 已知 a_1 = 1 。• 对于 n \geq 2 ，有 a_n = a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} 。• 由于 a_{n-1} > 0 ，所以 \frac{1}{a_{n-1}} > 0 ，因此 a_n > a_{n-1} 。这表明数列 \{a_n\} 是单调递增的。2. 数列的平方:• 考虑 a_n^2 的表达式：• 由于 \frac{1}{a_{n-1}^2} > 0 ，我们有：3. 数列的平方的下界:• 从 a_1 = 1 开始，我们有 a_1^2 = 1 。• 利用 a_n^2 > a_{n-1}^2 + 2 ，我们可以递推得到：

- 一般地，我们有：4. **证明 a_n > \sqrt{2n} **:• 从 a_n^2 > 2n - 1 ，我们得到：• 由于 \sqrt{2n - 1} < \sqrt{2n} 对于所有正整数 n 成立，因此：综上所述，我们证明了对于任意正整数 n ，都有 a_n > \sqrt{2n} 。

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