逻辑与概率（三）

4.1基本有限模态概率模型

正式地，基本的有限模态概率模型是元组M =（W，P，V），其中W是一组有限的世界或状态集，P是将W与W与每个Worldw∈W的函数相关联的函数V是一个“估值函数”，将原子命题从集合φ分配到每个世界。该分布从单个世界中延伸到一组世界：pw（s）= ∑s∈Spw（s）。基本模态概率模型的前两个组件实际上与Kripke框架相同，其关系装饰有数字（概率值）。这样的结构具有不同的名称，例如具有数学标记边缘的有向图，或计算机科学中的概率过渡系统。与Kripke模型一样，估值功能使我们可以为世界分配属性。

公式的语义是在成对（M，W）上给出的，其中M是模型，W是模型的元素。在一对（m，w），书面（m，w）⊨p（ϕ）≥q处的公式p（ϕ）≥q是正确的，并且仅当pw（{w'In（m，w''） ϕ}）≥q。

4.2索引和解释

在模态概率逻辑应用中最常见的第一个概括是允许分布由两组而不是一组索引。第一组是世界的集合（模型的基础集），但另一组是一个索引集，通常将其作为一组动作，代理或游戏玩家。正式地，p将每个w∈W和a∈A的分布pa，w关联。对于语言，而不是涉及p（ϕ）≥q的表格的公式，而是pa（ϕ）≥q，以及（m，w）⊨pa（m，w）⊨pa（ϕ）≥q。 ''（m，w'）⊨ϕ}）≥q。

示例：假设我们有一个索引集a = {a，b}和原子命题的集合φ= {p，q}。考虑（w，p，v），其中

w = {w，x，y，z}

pa，w和pa，x map w至1/2，x至1/2，y至0，z至0。

pa，y和pa，z映射y至1/3，z至2/3，w至0，x至0。

pb，w和pb，y map w至1/2，y至1/2，x至0和z至0。

pb，x和pb，z映射x至1/4，z至3/4，w至0，y至0。

v（p）= {w，x}

v（q）= {w，y}。

我们使用以下图描述了此示例。每个圆圈内部是每个命题字母的真相标记，这些命题字母的名字在圆圈之外被标记。箭头指示概率。例如，从世界X到世界Z的箭头标记为（B，3/4）标记的箭头表明，从X上，标签B下的Z可能为3/4。概率为0未标记。



数字

随机解释：考虑A和B的元素A和B是动作，例如按下机器上的按钮。在这种情况下，按下按钮没有一定的结果。例如，如果机器处于状态X状态，则有一个1/2的概率，它将在按A后保持在同一状态，但按下b后保持在同一状态的1/4概率。那是，

（m，x）⊨Pa（p∧-q）= 1/2∧pb（p∧umq）= 1/4。

通常，模态逻辑的一个重要特征（其中包括模态概率逻辑）是支持高阶推理的能力，即有关概率概率的推理。高阶概率的重要性可以从例如米勒的原理中所扮演的角色，它指出p1（ϕ’p2（ϕ）= b）= b。在这里，P1和P2是概率函数，可以具有各种解释，例如两种药物的概率，逻辑和统计概率，或者在不同时刻的概率（Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991）。例如，在朱迪·本杰明（Judy Benjamin）问题（van Fraassen 1981a）中也发生了高阶概率，其中一个在概率信息上进行了条件。是否同意文献中有关高阶概率的原则，代表它们的能力强迫人们调查管理这些原则的原则。

为了更具体地说明高阶推理，我们返回我们的示例，看看在x处，有一个1/2的概率，即按下A，有一个1/2的概率，在按下B，将是这种情况。 ¬P是真的，也就是说

（m，x）⊨Pa（pb（¬p）= 1/2）= 1/2。

主观解释：假设A的元素A和B是游戏的玩家。 P和−P是玩家A和Q和�Q的策略，都是玩家b的策略。在模型中，每个玩家都是她自己的策略。例如，在X上，玩家A确定她会玩P，并且玩家B确定她会玩桌子，也就是说

（m，x）⊨Pa（p）=1∧pb（€q）= 1。

但是球员随机对手。例如，在X处，B对于A的概率为1/2是1/4，即

（m，x）⊨pb（pa（q）= 1/2）= 1/4。

4.3概率空间

通常将概率定义为测量空间中的措施。测量空间是集合ω（样品空间），以及一个超过ω的σ-代数（也称为σ-field），这是一组非空的子集的子集，因此a∈A表示ω-a ama。 ∈A，对于所有自然数i，ai∈A意味着⋃iiai∈A。一个度量是在σ-级别a上定义的函数μ，因此每次i，每种i，μ（⋃iai）= ∑iμ（ai）的μ（a）≥0≥0 j。

σ-Algebra的效果是限制域，以便并非每个子集的每个子集都需要概率。对于在无限无限的集合上定义的某些概率至关重要。例如，无法在间隔的所有子集上定义一个单位间隔上的均匀分布，同时还可以维持概率度量的可数添加性条件。

与基本有限概率逻辑相同的基本语言不需要更改，但语义略有不同：对于每个状态w∈W，模态概率模型的组件PW被整个概率空间所取代（ωw，aw，aw，aw， ，μW），使得ωw⊆w和aw是ωw上方的σ代数。我们可能希望整个空间因一个世界而异，是为了反映出正确的概率空间的不确定性。对于概率公式的语义，（m，w）⊨P（ϕ）≥q时，仅当μW（{w'i（m，w'）⊨ϕ}）≥q。在{w'i（m，w'）⊨ϕ}∉aw的情况下，这种定义并不是很好的定义。因此，通常将约束放在模型上，以确保此类集合始终在σ-代数中。

4.4结合定量和定性不确定性

尽管概率反映了一个级别的定量不确定性，但概率也可能存在定性不确定性。我们可能希望具有定性和定量的不确定性，因为我们可能不确定某些情况，以至于我们不想将数字分配给其事件的概率，而在其他情况下，我们确实对他们事件的概率有所了解;这些情况可以相互作用。

在许多情况下，我们可能不想将数值分配给不确定性。一个示例是计算机选择位0或1的地方，我们对选择该位的选择一无所知。另一方面，硬币翻转的结果通常被用作我们将概率分配给个人结果的示例。

这些可能相互作用的一个示例是，位的结果确定了公平的硬币还是加权硬币（例如，概率为2/3的头）用于硬币翻转。因此，关于翻转硬币的作用是否产生概率为1/2或2/3的头部存在定性不确定性。

正式化概率和定性不确定性之间相互作用的一种方法是将与模型的另一个关系和模态操作员添加到该语言中，就像Fagin和Halpern（1988，1994）中所做的那样。正式地，我们添加到基本有限概率模型A关系R⊆W2。然后，我们将模态运算符添加到语言中，以便（m，w）⊨◻ϕ且仅在wrw'时（m，w'）⊨ϕ时。

考虑以下示例：

w = {（0，h），（0，t），（1，h），（1，t）}，

φ= {h，t}是一组原子命题，

r = w2，

p与（0，h）和（0，t）分布映射（0，h）和（0，t）分别为1/2，并与（1，h）和（1，t）共同映射（1，h）至2/3和（1，t）至1/3，

v映射h到集合{（0，h），（1，h）}和t到集合{（0，t），（1，t）}。

然后，以下公式为（0，h）：¬◻H∧（¬◻p（h）= 1/2）∧（⬦P（h）= 1/2）。这可以读取，因为尚不清楚H是正确的，并且不知道H的概率为1/2，但是H的概率可能是1/2。

4.5对定量和定性互动的限制

我们详细介绍了如何将定量和定性不确定性联系起来。其中很大程度上类似于对信仰形式表示的目标的目标，但是在这里我们重点介绍了定性和定量工具之间的联系，例如认知关系r和概率空间pw =（ωw，aw，μw）多于。

与其允许定量和定性不确定性自由相互作用，不如涉及两者之间的约束可能是现实的。 Fagin和Halpern（1994）提出了一些约束。一个称为一致性的约束可确保局部定义的样本空间ωw包含在所有世界中，代理在定性上都可以考虑。另一个称为统一性，可确保样本空间内的所有世界都同意概率空间。在第4.4节中有关概率分配的定性不确定性的示例中，满足了这两个约束。

限制定量和定性不确定性之间关系的另一种方法是从定量不确定性中定义定性信念。一种自然的方法是定义一个对A（分配概率1）的定量确定性的信念。这可能是由由

（w，v）当且仅当μw（{v}）＞0时。

而不是让样品空间ωw包含在定性可能性集中，而是相反。这里的样本空间通常是所有可能的世界的集合，并且该代理认为可以考虑的集合就是其中的一个子集。对于本小节的其余部分，我们假设所有世界都同意单个概率空间P =（W，P，μ）。

我们可能希望允许一种信仰形式比概率1弱。例如，某人可能“相信”她的积极的医疗测试结果，同时承认非零的误报机会，因此无法确定她的病情正在测试。这种信念虽然比概率的确定性弱，但如果导致决定和行动，它可能特别重要。定义如此弱信念的一种自然方法是“洛克斯论文”，它定义了对事件的信念a a toμ（a）≥r，其中r一些阈值小于1（请参阅“正式表示信念”的条目以获取更多细节关于洛克尼论文），尽管这种信念并不总是由认知关系引起的。另外，可以从概率函数μ和阈值q定义认知关系r

（w，v）∈R当且仅当μ（{v}）≥Q时。

当我们假设每个世界都同意概率空间时，关系r满足了KD45的信念（请参阅KD45公理的认知逻辑输入）。可能性的阈值Q通常很小；这是可能被认为可能合理可能并纳入认知关系的最低可能性。相比之下，洛克尼阈值r在0.5到1之间。而根据洛克尼论文定义的信念操作员不需要对应。任何认知关系，都有特殊情况。如果有一个q，以至于k ={wμ（{w}）＞q}是p-stable（如果全w∈K，μ（{w}）＞μ （w∖k）），然后，当且仅当v∈K时，由（w，v）∈R定义的认知关系r会产生一个模态信念算子，该模态信念算子满足阈值的阈值r = p（k） （请参阅Leitgeb 2013和Delgrande 2022）。

4.6动力学

我们已经讨论了模态概率逻辑的两种观点。一个是时间或随机性，其中与每个状态相关的概率分布决定过渡到其他状态的可能性；另一个问题与代理商的主观观点有关，他们可能会推荐其他代理商的概率。随机系统是动态的，因为它代表了不同过渡的概率，这可以通过模态概率模型本身传达。但是从主观角度来看，模态概率模型是静态的：概率与当前是这种情况有关。尽管在解释中静态，但模态概率设置可以放置在动态环境中。

模态概率环境中的动态通常与可能所有可能的世界的概率同时改变。从直觉上讲，这种变化可能是由新信息引起的，这些信息会在每个可能的世界中引起概率修订。通常使用条件概率（例如Kooi（2003），Baltag和Smets（2008）和Van Benthem等人等条件概率对主观概率的动力学进行建模。 （2009）。在F上有条件的E的概率为书面p（e f），是p（e∩f）/p（f）。当通过集合更新时，概率分布p被概率分布p'取代，使得p'（e）= p（e.f），只要p（f）≠0。让我们假设在此动态小节的其余部分中，每个相关集合的集合都具有正概率。

使用线性组合的概率逻辑，我们可以通过p（ϕ∧ψ）-QP（ψ）≥0的条件概率p（ϕ〜ψ）≥Q缩写。在模态设置中，可以将运算符[！ψ]添加到语言中，以便在且仅当M'，w⊨ϕ时，m，w⊨[！ψ] ϕ，其中m'是从m中获得的模型修改ψ的概率。请注意，[！ψ]（p（ϕ）≥q）与p（ϕψ）≥q不同，在[！ψ]（p（ϕ）≥q）中，对概率项的解释受到影响。通过ψ的修订，而在p（ϕψ）≥q中，它们不是，这就是为什么p（ϕ ∣ψ）≥q很好地展开到另一个概率公式的原因。但是，[！ψ]也确实展开了，但是在更多步骤中：

[！ψ]（p（ϕ）≥q）↔（ψ→p（[！ψ] ϕ〜ψ）≥Q）。

有关模态概率逻辑及其动力学的其他概述，请参见Demey和Kooi（2014），Demey和Sack（2015），以及有关动态认知逻辑输入的动态认知逻辑中的概率更新的附录L。

5。一阶概率逻辑

在本节中，我们将讨论一阶概率逻辑。正如本条目第1节所述，逻辑可以具有许多方法具有概率特征。逻辑的模型可以具有概率方面，后果的概念可以具有概率的风味，或者逻辑的语言可以包含概率运算符。在本节中，我们将重点关注那些具有一阶风味的逻辑操作员。一阶风味是将这些操作员与上一节的概率模态操作员区分开来的。

考虑Bacchus（1990）的以下示例：

超过75％的鸟类飞行。

对这句话有一种直接的概率解释，即当一个随机选择鸟时，所选鸟苍蝇的可能性超过3/4。需要一阶概率运算符来表达这类陈述。

还有另一种类型的句子，例如Halpern（1990）中讨论的以下句子：

Tweety Flies的概率大于0.9。

这句话考虑了Tweety（特定鸟）可以飞行的概率。这两种类型的句子通过两种不同类型的语义来解决，其中前者涉及域上的概率，而后者涉及一组与域分开的可能世界的概率。

5.1一阶概率逻辑的示例

在本小节中，我们将仔细研究特定的一阶概率逻辑，该语言尽可能简单，以专注于概率量词。该语言非常类似于经典的一阶逻辑的语言，但是该语言不是熟悉的通用和存在的量词，而是包含概率量词。

该语言建立在一组单个变量上（用x，y，z，x1，x2，…），一组函数符号（用f，g，h，f1，…表示），其中arity关联了使用每个符号（零函数符号也称为单个常数），以及一组谓词字母（由r，p1，…）与每个符号相关联。该语言包含两种句法对象，即术语和公式。术语的归纳定义如下：

每个单独的变量x都是一个术语。

每个函数符号f，然后是一个术语（T1，…，TN）的n核心是一个术语。

鉴于该术语的定义，公式被归纳定义如下：

每个谓词字母r的n，然后是术语（T1，…，tn）的n核心是一个公式。

如果ϕ是一个公式，则€也是。

如果ϕ和ψ是公式，则是（ϕ∧ψ）。

如果ϕ是公式，而q是间隔[0,1]中的有理数，则px（ϕ）≥q。

形式的PX（ϕ）≥Q的公式应为：“选择X的概率使得x满足至少为q”。公式px（ϕ）≤q是px（€ϕ）≥1 -q和px（ϕ）= q的缩写是PX（ϕ）≥Q∧PX（ϕ）≤Q的缩写。 ϕ中X的每个自由出现都受操作员的约束。

该语言在非常简单的一阶模型上解释，该模型是M =（d，i，p）的三元，其中话语d是一组有限的非对象集，i的解释i关联了d上的n-ary函数每个N- ARY函数符号都在语言中出现，并且D与每个N- ARY谓词字母的n- ary关系。 p是一个概率函数，将概率p（d）分配给d中的每个元素d，使得∑d∈Dp（d）= 1。

为了解释包含自由变量的公式，也需要一个分配g，将D分配给每个变量。给定m =（d，i，p）的解释[[t] m，g，g的g，g）和分配g的归纳定义如下：

[[x] m，g = g（x）

[[F（T1，…，TN）]] M，G = I（f）（[[T1]]，…，[[TN]]）

真理被定义为具有分配和公式的模型之间的关系⊨：

m，g⊨r（t1，…，tn）iff（[[t1]]，…，[[tn]]）∈I（r）

m，g⊨− ϕ iff m，g⊭ϕ

m，g⊨（ϕ∧ψ）iff m，g⊨ϕ和m，g⊨ψ

m，g⊨px（ϕ）≥qiff∑d：m，g [x↦d]⊨ϕp（d）≥q

例如，考虑一个包含九个大理石的花瓶的模型：五个是黑色，四个是白色。让我们假设P向每个大理石分配了1/9的概率，这捕获了一个同样有可能选择任何大理石的想法。假设该语言包含一个单一谓词B，其解释是黑色大理石的集合。在此模型中，无论分配如何，句子px（b（x））= 5/9是正确的。

我们刚刚提出的逻辑太简单了，无法捕获许多有关概率的推理。我们将在这里讨论三个扩展。