数学哲学（二） (5-5)

我们无需关注布劳威尔在哲学上的具体观点，简单来说，布劳威尔是一个再典型不过的观念论者、真值反实在论者。他和康德一样认为数学是先天综合的。更准确一点说，数学的本质是理想化的精神构造。这里的理想化是指，对于关于数学的活动而言，纸和笔都只是辅助工具而不是本质性的，只有关于数学的心灵活动，一种-主动的-基于时间直观的-精神-活动才是数学的本质。例如为了证明有无穷多个质数，直觉主义认为我们需要做的是提供一套可行的程序，能够构造出无穷多个质数(当然未必是全部质数)，说一个方程在复数域内有根意味着我们能够提供关于这个根的构造。说一个数学对象存在，即是说对其构造的可能性。在这之后，可以看到布劳威尔是反对排中律的。在布劳威尔看来，排中律必须依赖于数学的本体实在论立场，而这是他不接受的。那些认为数学对象存在于独立的数学王国的数学家当然相信例如或者存在或不存在自然数n满足某个命题Pn，但在布劳威尔看来却并非如此，说不存在n意味着假设n存在推出矛盾，但说存在n却是指提供一个对n的构造方案。这二者不是一回事。布劳威尔也不承认实无穷，准确一点说，我们不能像大多数数学家那样把例如实数视作一个完成了的集合，它是一个在不断构造中的集合(序列)。同样的，布劳威尔坚决反对非直谓定义的使用。

更进一步，在布劳威尔看来，数学的本质存在于心灵和精神之中，而逻辑主义和形式主义关注的逻辑和语言对于数学而言都是非本质性的，它们不过是数学用于交流的附属物，逻辑只是通过语言交流数学规则的一种编码而已，对逻辑和语言的关注对于数学而言是流于表面，没有抓到数学的要点的。逻辑和语言可说仅仅是精神构造的交流不完美的媒介，而数学是关于后者的。

在布劳威尔之后，他的学生Heyting继承了直觉主义的主要思想，并发展了一整套直觉主义的形式化系统，在某种意义上这和布劳威尔是不合的，因为在布劳威尔看来形式化本身就已经丢掉了数学的本质，不过Heyting的这些工作使得我们可以从数学，而不仅仅是哲学角度考察直觉主义(的数学主张)。直觉主义对于经典数学不仅仅是限制，确切说它们是不相容的。在今天，关于直觉主义逻辑的相关研究在数理逻辑方面已经非常丰富了。我们也许可以说，尽管直觉主义并没有多影响到大多数传统的数学领域，但在数理逻辑方面已经受到了很多重视。

在今天的哲学界也有一些直觉主义者，例如Michael Dummett。但要注意，说Dummett是一个直觉主义者是指他对直觉主义逻辑的支持，就哲学上的考虑Dummett和布劳威尔以及Heyting是截然不同的。Dummett从一开始关注的焦点就是布劳威尔认为

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