哲学

通俗的说，非直谓定义没有严格定义。它是很多，如果不是全部悖论的来源。因此自然的，尤其是在那个时代，一些数学家和哲学家就不赞成使用非直谓定义，代表就是庞加莱和罗素，不过他们二人采取了截然不同的策略，庞加莱拒绝非直谓定义并接受直觉主义逻辑，是后来 Brouwer 思想的最重要来源之一，而罗素(及 Whitehead) 则是通过类型论来将非直谓定义转换为直谓定义，而这就需要引入 Axiom of Reducibility，不过这东西一点也不像公理。

后来就是什么哥德尔用这个论证数学对象的柏拉图主义了之类的。

不过在今天这正如同其他众多的数学基础问题，并不为绝大多数数学家关注。数学哲学界也没几个人做这个的。

[1]( Predicative and Impredicative Definitions)

一个很通俗的介绍，最重要的基本概念都涉及到了

[2] Charles McCarty '/Constructivism in Mathematics/' in Andrew Irvine ＜/Philosophy of Mathematics/＞ 2009

这篇的第七小节专门介绍了 predicativism (in mathematics) ，但其他几节也很有意义，对各种构造主义的介绍，以及它们的区别，可以把握一个更大的背景。

[3] Solomon Feferman '/Predicativity/' in Stewart Shapiro ＜/Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics/＞ 2005