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集合论公理 (2-1)

选择公理(Axiom of Choice,AC):

公理内容:

选择性公理表述为:对于任意由非空集合组成的集合族,存在一个选择函数,该函数从集合族的每个集合中恰好选出一个元素

也就是说,如果有一个集合族,其中的每个集合都非空,那么就可以有一种方法从每个集合中挑选出一个特定的元素,组成一个新的集合

与其他公理的关系:

选择性公理与策梅洛 - 弗兰克尔集合论(ZFC)的其他公理相对独立,可以在不假设选择性公理的情况下发展出一套集合论,但这样的理论在很多方面会受到限制

一方面,选择性公理可以推出一些非常强大的结论,但另一方面,它也可能导致一些看似奇怪的结果。例如,在选择性公理下,可以证明存在一些不可测集,这在某种程度上挑战了人们的直观

争议性:

选择性公理的争议性主要在于它的非构造性,它只是断言存在一个选择函数,但没有给出具体的构造方法,这与其他一些集合论公理的直观性和构造性形成了鲜明对比

一些数学家对选择性公理持谨慎态度,担心它可能会引入一些不合理的结果,然而,也有许多数学家认为选择性公理是必要的,并且在数学研究中广泛使用它

决定公理(Axiom of Determinacy,AD):

公理内容:

决定性公理表述为:

对于所有的集合 X 和 Y,以及 X 和 Y 的乘积空间 X×Y 上的所有二人零和博弈,都存在一个获胜策略

双人无限博弈可以这样理解:有两个玩家 A 和 B,他们轮流从自然数集合中选取一个数,形成一个无限序列‬

在博弈开始前确定一个规则来判定最终的序列是属于集合 A 还是集合 B

决定性公理断言,对于任何这样的博弈,要么玩家 A 有必胜策略,即不管玩家 B 如何选择,玩家 A 都能保证最终的序列属于集合 A;要么玩家 B 有必胜策略,即不管玩家 A 如何选择,玩家 B 都能保证最终的序列属于集合 B

换句话说,对于任何一个由集合 X 和 Y 定义的博弈,要么玩家一有一个获胜策略,要么玩家二有一个获胜策略,不存在平局或不确定性

重要性及影响:

决定性公理可以推出一些非常强的结论,而在另一些情况下,它又与某些公理相矛盾,决定性公理的研究有助于我们更好地理解集合论的结构和性质,以及不同公理之间的相互作用

争议性:

决定性公理的争议性主要在于它的非构造性,就像选择公理一样,决定性公理只是断言存在一个获胜策略,但并没有给出具体的构造方法,这使得一些数学家对它的合理性和有效性产生了质疑

决定性公理的一些结论可能与我们的直观不符,例:它可能导致一些看似不合理的结果,如某些随机过程的确定性

决定性公理和选择公理的关系如下:

1. 相互矛盾:

在通常的集合论体系下,决定性公理和选择公理是不相容的,选择公理断言对于任意由非空集合组成的集合族,存在一个选择函数能从每个集合中恰好选出一个元素,但这种非构造性的选择方式在某些无穷博弈的情境下,与决定性公理所要求的博弈的确定性相冲突

换言之,在某些模型中,如果假设选择公理成立,可以构造出一个双人无限博弈,使得双方都没有必胜策略,这与决定性公理矛盾

例如:利用选择公理可以构造出一些特殊的集合或博弈场景,在这些场景下决定性公理不成立;反过来,若假设决定性公理成立,那么在一些情况下会否定选择公理的某些结论

2. 各自独立:

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