多元宇宙 (2-2)

2.对于任何 i≤j，V的任何元素在V中都可以被πi，j值域中的元素和{κ∗：i≤∗＜j}内的元素一阶定义称一个结构(N，U)是一个sharp，当且仅当：

1.N是一个弱ZFC模型(ZFC-pow，替换公理可以换成收集公理)，且存在最大基数k，且k是一个强不可达基数——允许存在这样一种情况，对于任意α＜k，P(α)∈N，但是对k本身则有P(k)∉N

2.(N，U)是amenable的，即x∈N蕴含x∩U∈N

3.U是k上的一个normal超滤，对于任意退行函数f：k→k，f(α)＜α，存在β＜k，使得{α：f(α)＝β}∈U

4.N是可迭代的，并且任意从(N，U)出发的迭代超幂都是良基的(N自己当然也是)，它们构成一条无界长的迭代链：

(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...对于任意i，j，i＜j，有πij(Ni)＝Nj，πij(Ui)＝Uj虽然这样的初等嵌入会被宇宙识别为Σ1初等嵌入，但是在宇宙外可以归纳证明其为初等嵌入，证明的核心思想为：

取j：Ni→Nj为Σ1初等嵌入，对于任意Σ1语句φ，Nj满足任意x，φ(x)，则存在Vα^Nj，任意x∈Vα^Nj，φ(x)，由于j为共终嵌入，因此存在β∈Ni，j(β)＞α，选取对应的β，使得Nj满足，任意x∈Vj(β)^Nj，φ(x)，则由于有界量词句子的复杂度为△0，Mi也满足任意x，φ(x)称宇宙V为＃生成的，当且仅当存在一条长度为V的高度的迭代链：

(N，U)→(N1，U1)→(N2，U2)→...，且V等于Vki^Ni(i∈∞)的联合可以知道，这两个定义是等价的

1.强＃-最大化称宇宙V为强＃-最大化，当且仅当：

• V是＃-生成的

• 对于任意＃-生成的V的外模型V*，若一个带有参数ω1，ω2的句子在V*的一个尊重参数的内模型上成立，则它也会在V的一个内模型上成立

2.称V满足SIMH＃，当且仅当V是强＃-最大化的

3.+LCA如果存在无界多武丁基数和在此之上的一个不可达基数，则对于语句φ，若φ被Vk(k为可测基数)满足，则存在一个传递模型同时满足SIMH＃+φ具体建构为：取(H(k+)，U)为N0，则由于k为可测基数，N0为一个sharp，将N0迭代到足够的高度，得到WF(N∞)＝M，使得M包含见证SIMH＃成立的A，同时，由于Vk∞是初等链的联合，Vk与Vk∞共同满足φSharp以自己的方式容纳了任意强的大基数公理假设存在一个给超紧基数的弱扩张内模型(简称终极内模型，LΩ)对于任意带参数(ω1，ω2)的一阶命题φ，若φ在V的某个尊重参数的外模型中成立，则它也在V中的某个终极内模型LΩ(φ)中成立正如L是不可辨认生成的等价于0＃存在等价于存在L到L的非平凡自嵌入。

我们不妨假设对于任意终极内模型LΩ(*)，LΩ(*)是不可辨认生成的当且仅当存在LΩ(*)的非平凡初等自嵌入。

这似乎暗示了某种Ω＃的存在，也即暗示了V＝LΩ的失败，但正如＃-生成可以与V＝L共存一般——只要那个见证V≠终极L的初等嵌入在V之外。

我们可以设想存在任意多个满足V＝LΩ(*)的宇宙V，它们都可以通过某个sharp迭代到足够多步之外，以至于最终得到的ZFC模型M满足SIMH＃，这样得到的M可以称为(由LΩ(*)生成的)终极V。

正如终极L的非唯一性，如此生成的终极V也是不唯一的。

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