集合论新公理探究的哲学思考（一） (7-1)

朱敏

作者简介：朱敏，南京大学哲学系在读博士生。

人大复印：《科学技术哲学》2013 年 05 期

原发期刊：《世界哲学》2013 年第 2 期 第 151-159 页

关键词：集合论/ 新公理/ 证成/ 意向性/ 心智行动/

摘要：

究竟集合论是否需要新公理?

它们是真的吗?

我们如何知道?

自哥德尔提出新公理纲领以来，对这些问题的回答伴随着长期的争论。

有的逻辑学家基于自明性标准拒斥新公理，有的数学哲学家视新公理为“助探器”用于探索数学深度，也有集合论专家坚信新公理就是关于柏拉图集宇宙的真理。

本文通过对这些争论的分析，可以揭示出，无论是新公理的支持者还是反对者，都普遍认同“公理客观有效性不能脱离主体的主观意向性而存在”，因此，当我们具体考察新公理和它们的合理依据时，不应当在忽略数学家的心智活动下给出批评或支持新公理的意见。

集合论是否需要新公理的问题是当前数学哲学研究的热点问题之一。

该问题源于20世纪60年代集合论发展产生的独立性结果。

科恩发表于1963年和1964年的论文证明了连续统假设[简称CH]在策墨罗—弗兰克尔的标准集合论公理系统[简称ZFC]中不可证。

这个结果连同哥德尔于1938年得出的结论，表明CH独立于ZFC。

不仅如此，由哥德尔和科恩的技术产生的其他独立性命题，如所有投影集是否勒贝格可测、苏斯林假设、怀特海问题等等，根据ZFC也都是不可判定的。

引进新公理的目的就是为了解决它们。

但由此产生如下问题：

1.为什么被提议作为新公理的陈述确实是公理而不只是假设?

2.公理意指什么?

对这两个问题的回答在20世纪40年代末开始展开，50年代有人隐约地提出了连续统假设无意义的观点，60年代至80年代，人们主要在寻求新公理以及给出它们的辩护上做努力。

但引进的诸多新公理一直未能解决连续统假设问题，90年代后，有人对需要新公理解决独立性问题的观点提出了质疑。

本文将着力于呈现当代国外有关新公理哲学讨论的发展及其重要观点，在此基础上表明，新公理的辩护和反驳都不应当忽略数学家的主观意向性与公理的客观有效性之间的密切联系。

一、新公理纲领的提出

新公理纲领可追溯到哥德尔1931年关于算术不完全性定理的论文。

在该文的脚注48[a]中，他指出：“……不完全性的真正原因在于更高类型的形式可以继续进入超穷……每当添加合适的更高类型的公理时，构造的不可判定命题就可以判定。”①

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