数学 (6-1)

首先回答问题。令 K = BB(750)。其中 BB(n) 是忙海狸函数，即所有最终停机的 2 色 n 状态图灵机中运行步数的最大值。

根据忙海狸函数 BB(n) 的定义，我们显然地有 K 是一个有限大的自然数。而我们很容易证明，对于任意有限大的自然数 n， 0.333...3 (n 个 3) ＜ 0.333... (循环) = 1/3，于是 0.333...3 (K 个 3) ＜ 0.333... (循环) = 1/3 这个大小关系平凡地成立。

0. 首先限定一下讨论范围

涉及到实数，尤其是显式地讨论柯西列（无限小数）的情况，很难避免涉及到讨论二阶算术的细节，从而让问题变得复杂化。为了避免这些复杂的技术细节，我们不在 R 上讨论这个问题，从而本回答也基本不涉及问题中的 2、3 部分。后面我们会看到，涉及到 R 的部分的讨论对于这个问题来说并不是本质的。在本回答的第 4 部分，我们会非常简略地讨论一下 R 上的情形。

只在 Q 上讨论这个问题，则 0.333... (循环) 只是 1/3 的一种记法，此时它们实际指代的是同一个数学对象，从而不涉及任何“无穷逼近”之类只在 R 上有意义的语义，也就不用去考虑诸如它小数点后面到底是有标准自然数那么多位还是非标准自然数那么多位之类事实上无法在 ZFC 内部合法讨论的问题。而另一方面，0.333...3 (n 个 3) 是一个等比数列，用等比数列求和公式可以写出简单的表达式：

0.333...3 (n 个 3) = 3 * (10^(-1) + 10^(-2) + ... + 10^(-n)) = (1/3) * (1 - 10^(-n))

不难证明上式的求和对任意自然数 n 成立，结果一定是一个有理数且总是小于 1/3。这个结论在算术上是平凡的，整个过程都可以简单地在 ZFC 中完成。

重新收集一下我们的结果：

(1)：由忙海狸函数 BB(n) 的定义，我们显然地有 K = BB(750) 是一个有限大的自然数。

(2)：可以证明：「对任意自然数 n，0.333...3 (n 个 3) ＜ 1/3」。

联立 (1)：(2)，立即得到：0.333...3 (K 个 3) ＜ 1/3。

此时问题出现了：0.333...3 (K 个 3) 里的那个 K，也就是 BB(750)，这个东西它潜在地依赖于 ZFC 的一致性因而在 ZFC 中无法判定。题主的疑问自然就是——我们要如何判定一个在 ZFC 中无法判定的 K 的性质？

1. ZFC 能判定什么，不能判定什么

「BB(750) 在 ZFC 中无法判定」这个说法很常见，但细究起来是有问题的：它在一个很重要的地方进行了模糊处理，即「ZFC 无法判定的东西到底是什么」。

利用比如 Post's theorem，我们可以把图灵机的性质翻译成一阶逻辑语言从而在 ZFC 里面讨论。忙海狸函数也可以用这种方式在 ZFC 里面处理。即使我们忽略掉 ZFC 里有没有非标准自然数之类不能在 ZFC 内部讨论的部分，以下的命题也是 ZFC 中的定理：

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