概率论 (2-2)

P(|Mₙ – μ| ≥ ϵ)＝P(| ───── – μ| ≥ ϵ) → 0 n

弱大数定律是指独立同分布的随机变量序列的样本均值，在样本数量很多的情况下，有很大的概率与随机变量的均值非常接近。也就是说对于充分大的n ，样本均值 Mₙ 的分布大部分集中在 μ 附近。

依概率收敛

弱大数定律的公式与数列的收敛类似，可以表述为Mₙ 收敛于 μ 。当时 Mₙ 不同于数列，因此需要一个新的定义。

设Y₁，Y₂，. . . 是随机变量序列， α 为一实数，如果对任意的 ϵ＞0 ，都有 lim P(|Yₙ – α| ≥ ϵ)＝0

则称 Yₙ 依概率收敛于 α 。

中心极限定理

设X₁，Ⅹ₂，. . . 是独立同分布的随机变量序列，序列的每一项的均值为 μ ，方差为 σ² 。记

X₁＋· · ·＋Xₙ – nμ

Zₙ＝──────

√nσ

则 Zₙ 的分布函数的极限分布为标准正态分布函数

1

Φ(x)＝─── ∫ˣ₋∞ e⁻ᶻ²/²dz

√2π

即 lim P(Zₙ ≤ x)＝Φ(x) 对任意的x成立。

n→∞

中心极限定理在实践中也非常重要，该定理表明大样本的独立随机变量序列之和大致是符合正态分布的。所以当人们遇到的随机量是由许多影响小但是独立的随机因素的总和，此时根据中心极限定理就可以判定这个随机量的分布是正态的，例如在许多自然或工程系统中的白噪声就是这种情况。

强大数定律

强大数定律与弱大数定律一样，都是指样本均值收敛于真值μ 。但是，它们强调的是不同的收敛类别。

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