逻辑学 (2-1)

为审慎起见，答案自带数学证明：

1）设x为任意个体变元，P(x)与Q(x)分别为定义x的命题，则当P(x)与Q(x)不等价时，有

(∀x)P(x)├ S(x)→Q(x) ⊬ S(x)

即概念的定义不等价必导致推理结论不一致，因而矛盾律必须被遵守.

证明(李，2023)：设H为表征变元为重言式的谓词，则由蕴含的传递性及充分条件与必要条件的关系，有

(∀x)P(x)⇎Q(x)

⇒ (∀x)¬H(P(x)↔Q(x))

⇒ (∀x)Q(x)↛P(x)

⇒ (∀x)¬(P(x)↔Q(x))

⇒ (∀x)(Q(x)⊬P(x))

⇒ (∀x)(Q(x)⊬P(x))→Q(x) ⊬ S(x)

⇒ (∀x)P(x)├ S(x)→Q(x) ⊬ S(x)

Q.E.D.

2）设S为表征变元不服从矛盾律的二元谓词，T为同真谓词，F为同假谓词，则

(∀x)S(P(x), ¬P(x))→T(P(x))∨F(P(x)

上式表征，若有违矛盾律则世无假话或世无真话.

证明(李, 2023)：设Z为表征变元满足必有一假的二元谓词，Ç为表征变元同真或同假的二元谓词，则

(∀x)S(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)¬Z(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)Ç(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)S(P(x), ¬P(x))→T(P(x))∨F(P(x)

Q.E.D.

3) 设S⁺为表征变元不服从排中律的二元谓词，T为同真谓词，F为同假谓词，则

(∀x)S⁺(P(x), ¬P(x))→T(P(x))∨F(P(x)

上式表征，若有违排中律则世无假话或世无真话.

证明(李，2019)：设Z⁺为表征变元满足必有一真的二元谓词，Ç⁺为表征变元同真或同假的二元谓词，则

(∀x)S⁺(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)¬Z⁺(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)Ç⁺(P(x), ¬P(x))

⇒ (∀x)S⁺(P(x), ¬P(x))→T(P(x))∨F(P(x))

Q.E.D.

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