计算机构造（四） (2-2)

任意的完全格 [complete lattice] 都是一个笛卡尔范畴，但显然我们几乎不在任何意义上希望考虑格上的代数理论。比如任意格上的群都是 trivial 的，这是因为格 P 上的终对象是最大元，而对于任意元素 p ，若其是 P 中的一个群我们要求有一个态射 e：1 → p ，换句话说即有 1≤p 。这表明 p＝1 。因此，考虑一般范畴上的某个逻辑系统的模型太普遍了，对我们没有太大的作用。一个更加好的范畴类别是拓扑斯 [topos]，这是一类具有和 Set 十分结构的范畴，每一个拓扑斯都可以看作是某种构造性的数学宇宙 [constructive universe]；因此，在所有拓扑斯中看待逻辑系统的模型看起来至少是更为合理的。而由此我们生成了一种新的逻辑系统的 Morita 等价观念，即我们称两个系统是 Morita 等价的当且仅当它们在所有的拓扑斯中具有相同的模型。在这种等价观念下，我们在之前文章中介绍的逻辑系统的分类拓扑斯 [classifying topos] 便可看作是这种等价观念下逻辑系统所对应的完全不变量，即两个逻辑系统是 Morita 等价的当且仅当它们的分类拓扑斯是等价的。

回到我们的可计算模型上来。若我们对之前问题1有了一个好的答案，即我们有了一个计算模型之间的等价概念，我们能否找到这种等价概念下所对应的不变量，使得我们能够更加直接地判断两个计算模型之间是否是等价的？对这个问题的我们也会在下一篇文章中进行解答；事实上，和分类拓扑斯的构造类似，对于每一个计算模型C 我们也能够构造一个代表其计算结构的范畴 Ass(C) ，称为 the category of assemblies of C 。这个范畴和拓扑斯一样有着非常丰富的范畴结构，可以看作是对于计算模型的某种分类空间 [classifying space] 其能够解决很多我们关于计算模型的问题。

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