计算机结构（二）

给定两个计算模型我们是可能有多种模拟方式的。比如给定一个有有限字母表的图灵机，我们可以有非常多种不同的方式来表达自然数；假设我们想要把基于递归论的可计算性用图灵机的方式进行模拟，则任意一种不同的表示自然数的方式应该都对应着不同的模拟方式（当然，表达自然数的方式只是一个计算模拟中很小的一个方面，由于在此处我们没有介绍其严格数学定义，我们仅以此为例；在下一篇文章中我们会更加严格地阐述计算模型和模拟的数学定义）。在这些不同的模拟方式下，有些模拟方式之间是能够可计算转换地（再一次，对于可计算转换地直观我们可以参考在拓扑的语境下连续转换的直观）。对于熟悉范畴论的读者，上面的描述很自然地构成了一个 2-阶范畴 [2-category]。在 2-阶范畴的语境下，我们有非常一般的有关等价 [equivalence] 的定义，而我们对于计算模型的等价也就定义为这个 2-阶范畴中的等价了。

结语

在这篇文章中我们对可计算性和计算模型进行了一个概念反思。对笔者个人而言，这样的思维过程是重要的，因为最终和空间以及连续性的概念一样，我们是想要对什么是空间这样一个抽象的概念进行理解与研究，而不仅仅是局限在研究三维欧式空间中的几何。尽管不能说拓扑的概念是我们对空间这个概念所作出的最终答案，但这的确是第一个抽象的框架使得我们能够阐述有关连续函数的一般性质。完全类似的，关于可计算性这个概念我们也需要这样的一套框架使得我们能够对一般的可计算性进行研究。我相信这样的思维方式一定会极大地扩展可计算性相关研究的视野及内容，对我们更加深入地理解数学的本质一定是有很大的帮助的。希望感兴趣的同学能够开始思考相关的问题。

参考：

1. Longley, J., & Normann, D. (2015). Higher-order computability (Vol. 100). Heidelberg: Springer.

2. Cooper, S. B. (2017). Computability theory. Chapman and Hall/CRC.

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