数学联邦政治世界观
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单调有界定理 (5-1)

单调有界定理,一个单一方向变化的数列,再额外加上一个有界的限制条件,可以推出,它必然是存在极限的。

这就好比有一个平板墙壁,这个墙壁就是有界,而有一双手把你摁在那个墙【地板】上面,这一双手就是单调的趋势,你会被朝向同一个平面向前摩擦,那个虚拟的平面就是极限。

很明显,在这种情形下,这个收敛的极限。就是有界条件,所限制的上或者下确界。

单调性和有限性,两个条件都是不能少的。

单调有界定理是数学分析中的一个基本定理,它指出如果一个数列是单调的(单调递增或单调递减)并且有界,那么这个数列必然收敛。

这个定理的关键在于单调性和有界性两个条件缺一不可。下面我们通过具体的例子来说明这一点。

反例1:单调但无界

考虑数列{αₙ} 定义为:

αₙ=n

这个数列是单调递增的,因为对于所有的 n,αₙ₊₁=n+1>n=αₙ 。

但是,这个数列是无界的,因为对于任意大的正数M,总存在某个 n(例如 n=M+1)使得 αₙ=n>M。

因此,这个数列不收敛。

反例2:有界但非单调

考虑数列{bₙ} 定义为:

bₙ=(–1)ⁿ

这个数列是有界的,因为对于所有的n,|bₙ|=1,所以它的上界是 1,下界是 -1。

但是,这个数列不是单调的,因为它在 1 和 -1 之间交替变化。

因此,这个数列不收敛。

正例:单调且有界

考虑数列{cₙ} 定义为:

1

cₙ=1 – ─

n

这个数列是单调递增的,因为对于所有的

1 1

n,cₙ₊₁=1 – ──>1 – ─=cₙ 。

n+1 n

同时,这个数列是有界的,因为对于所有的n,0<cₙ<1。

因此,这个数列收敛,并且它的极限是 1。

总结

通过上述例子可以看出,单调性和有界性是数列收敛的两个必要条件。

如果数列单调但无界,或者有界但非单调,都不能保证数列收敛。

只有当数列同时满足单调性和有界性时,才能保证数列收敛。

再给我一个代码画一个九宫图展示各种可能和临界情况。

为了展示各种可能和临界情况,我们可以创建一个九宫图,每个格子展示一种数列的情况。具体来说,我们可以展示以下九种情况:

1. 单调递增且有界

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