数学问题 (5-5)

所以我们可以想出一些疯狂的方程和它的解形成一个（有时非常复杂的）形状，这些被称为代数循环。如果这些代数循环足够光滑，那么它们可以被称为流形（回想一下庞加莱猜想）。

所以代数循环可以形成流形，如果我们加入更多的方程我们就可以得到流形上的代数循环。

• 把z = 0加到x^2+y^2+z^2=1上，得到一个圆

现在从拓扑学的角度来看，我们可以在流形上画一些疯狂的形状然后把这些形状组合在一起,如果它们可以互相变形的话。它们被分成同调类。

• 环面上的两个不同的同调类

这看起来就像我们上面所考虑的交换：我们正在从对形状的代数描述转向几何描述。问题是，给定一个流形，什么时候一个同调类包含一个可以被描述为该流形上的一个代数循环的形状？

不幸的是，我们一直在研究正则欧几里得空间中的流形。霍奇猜想研究存在于n维空间中的复射影流形。

霍奇想出了一个巧妙而优雅的想法来判断一个同调类是否等同于一个代数循环，这在本质上就是霍奇猜想。

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