数学问题 (5-3)

ₙ₌₁ nˢ

它对 s＞1时有效。注意，当s = 1时，函数简化为调和级数。我们可以做一些奇特的数学运算，用下面的函数关系将函数解析到复平面上（除了s = 0和1时）：

1

ζ(1 – s)＝2(2π)⁻ˢcos(─sπ)Γ(s)ζ(s)，

2

for s ∈ ℂ∖{0，1}

现在我们要求s， ζ(s) = 0。既然奇数负整数的余弦值是0，那么ζ（-2n）对于正整数n是0。这些被称为平凡零点，因为余弦函数的性质使它为零。相反，我们感兴趣的是非平凡零点的情况。

已知所有非平凡零都有0到1之间的实部，称为临界带。结果是，如果s是一个非平凡零点（即ζ(s) = 0且s不是负偶数），那么对于一些值y，s = 1/2 + iy（即s的实部是1/2），这就是所谓的临界线。

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想

给定一条ℚ上的椭圆曲线E，其代数秩总是与解析秩重合吗？

椭圆曲线E，为方程y^2=x^3+Ax+B的解集，且判别式∆=-16（4A^3+ 27B^B）≠0。这个约束条件保证了曲线足够好。

• 两个椭圆曲线。左边：y^2=x^3-1.5x+1。右边：y^2=x^3-4x+1

现在我们要求x和y是有理的，从而限制了椭圆曲线的解。这就是我们说的ℚ上的曲线。现在我们可以用这条曲线E来组成一群E（ℚ）。我们做了一个很简洁的二元运算：给定两个点，我们画一条直线通过它们，找到与E的第三个交点并将它反射到x轴上。

• 如何将两点A和B相加得到C

为了使它完全成为一群，我们需要在无穷远处添加一个点作为群的标识。

第一个自然的问题是，我们可以推断出E（ℚ）的结构是什么？

莫德尔和威尔（Mordell and Weil）的结果告诉我们，E（ℚ）是有限生成的，可以写成：

E(ℚ) ≅ ℤʳ × E(ℚ)ₜₒᵣₛ

其中E（ℚ）_tors是E（ℚ）中所有有有限顺序的点。r被称为曲线E的代数秩。

现在我们有了前半部分。现在我们需要理解解析秩。

现在让我们进一步限制解，考虑在有限域p上，其中p是一个素数，我们定义以下值：

Nₚ＝{solutions：of E mod p}

αₚ＝p – Nₚ

最后是E在s处的L级数：

L(E，s)＝∏(1 – αₚp⁻ˢ＋p¹⁻²ˢ)⁻¹

p|Δ

∏(1 – αₚp⁻ˢ)⁻¹

p∤Δ

回忆一下，∆是椭圆曲线的判别式。那么我们可以将L展开成一个泰勒级数，围绕s = 1展开：

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