数学理论（二） (7-3)

首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s以内的素数数量，则q=s/㏑s.

(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)

当s足够大时，显然满足：

(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.

且令：s以内集合X中大于2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；同时定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x₁+1/㏑x₂…+1/㏑xₙ.

则有：s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q都趋近或等于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.

以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.

且令：集合X、N中与pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、zᵢ.

(i∈N,p₀=2,i＞0时,pᵢ表示第i个奇素数)

则有：i=1时，y₁=1，z₁=2/3；

i≠1时，yᵢ=zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；

集合X、N中与p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ.

且令：rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

则有：r₀=1；i＞0时，rᵢ=1/(2/3)=3/2.

分析：s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素，它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.

且令：s以内集合X中元素的能量和为e.

则有：e=s/(3㏑s).

分析：s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积，即q=er=s/(2㏑s).

以此类推

且令：P={全体素数}；

X={x|x=pa+y,(a∈N)}.

(p∈P,y=1,2…p-1)

则有：p、y确定时，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].

且令：P₀=P∩X.

则有：s以内集合P₀、P中元素数量分布之比为1/(p-1).

定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.

素数定理与能量参照法结合为素数分布新论如下：

如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分布比例分别为yᵢ、y₀y₁…yᵢ. (i∈N)

且令：zᵢ=(pᵢ-1)/pᵢ；rᵢ=(y₀y₁…yᵢ)/(z₀z₁…zᵢ).

若存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都趋近或等于r；则称集合X存在参照常数r.

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