几何数学

2.1 几何边界 S(∞)及 Dirichlet 问题的可解性

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Δu＝4ρ²χ''(ρ²)|∇ρ|²＋2χ'(ρ²)|∇ρ|²＋2ρχ'(ρ²)Δρ.

如果Kᴍ ≥ –b²，则由第一章的系1.2，当ρ＝ρy(x) ≤ 1时，ρΔρ ≤ 常数.

至于∇u，Δu中的其他各项，当ρ ≤ 1时，|∇u|和 |Δu| 是有限的.同理对 ∇υ，Δυ 也如此.

另一方面，由体积比较定理（见第一章（1.1.20）式），当Kᴍ ≤ 0时，Vol Bₓ(1) ≥ 常数.因此

υ(x)＝∫ᴍχ(ρ²ₓ(y))dy＝∫ʙₓ₍₁₎χ(ρ²ₓ(y))dy ≥ Vol Bₓ

1

(─) ≥ 常数.

2

u

总结以上所述，|Δ(─)|有界，

υ

代入(2.1.20)，即得

|Δ∼φ(x)| ≤ 常数 · osc ʙₓ₍₁₎φ＝O(e⁻αρ⁽ˣ⁾). (2.1.21)

3° 考虑C∞(M)函数g＝e⁻δρ⁽ˣ⁾. 易知，

Δg＝–δe⁻δρ⁽ˣ⁾Δρ＋δ²e⁻δρ⁽ˣ⁾|∇ρ|². (2.1.22)

而当Kᴍ ≤ –α² 时，由比较定理，

Δρ ≥ (n – 1)α coth αρ ≥ (n – 1)α＝C₁＞0.

C₁ 是仅与n，α有关的正常数. 因此，由(2.1.22)，

Δg ≤ e⁻δρ⁽ˣ⁾(δ²|∇ρ|² – δC₁)＜0， (2.1.23)

只要 δ 充分小.

因为Δ∼φ＝Ο(e⁻δρ⁽ˣ⁾)，只要 δ 充分小，由（2.1.23），我们可以找到常数C，使

Δ(Cg) ≤ –|Δ∼φ|，

即 Δ(∼φ＋Cg) ≤ 0，Δ(∼φ – Cg) ≥ 0.

根据经典调和函数论的 Perron 方法，∼φ＋Cg和∼φ – Cg可以作为保证调和函数存在的闸(barrier) 函数. 即存在函数 u，使Δu＝0，而 ∼φ – Cg ≤ u ≤ ……！

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