数学联邦政治世界观
超小超大

割点 (2-1)

对于一个无向图,如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了,那么这个点就是这个图的割点(又称割顶)。

换句话说,如果删除某个顶点后,导致图不再连通,那么刚才删除的顶点就是割点。

1、4、3、2、6、5

如果顶点U的所有孩子顶点可以不通过父顶点U而访问到U的祖先顶点,那么说明此时去掉顶点U不影响图的连通性,U就不是割点。相反,如果顶点U至少存在一个孩子顶点,必须通过父顶点U才能访问到U的祖先顶点,那么去掉顶点U后,顶点U的祖先顶点和孩子顶点就不连通了,说明U是一个割点。

即判断割点的方法是:对于某个顶点u,如果至少存在一个顶点v(u的儿子),使得loωυ>=dfnᵤ ,即不能回到祖先,那么u点为割点。

这里我们还需要考虑一个特殊情况,就是DFS的根顶点(一般情况下是编号为0/1的顶点),因为根顶点没有祖先顶点。其实根顶点是不是割点也很好判断,如果从根顶点出发,一次DFS就能访问到所有的顶点,那么根顶点就不是割点。反之,如果回溯到根顶点后,还有未访问过的顶点,需要在邻接顶点上再次进行DFS,根顶点就是割点。

求解割点,对Tarjan算法

其中st[i]为1的点为割点

void Tarjan(int u,int p){

int son=0;

dfn[u]=low[u]=++dfncnt;

for(auto i:g[u]){

if(!dfn[i]){

son++;

Tarjan(i,u);

low[u]=min(low[u],low[i]);

if(p!=-1&&low[i]>=dfn[u]){

st[u]=1;

}

}else if(i!=p){

low[u]=min(low[u],dfn[i]);

}

}

if(p==-1&&son>1)st[u]=1;

};

割边

对于一个无向图,如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了,则称这条边为桥或者割边。

即在一个无向图中删除某条边后,图不再连通,这个边就是割边。

割点与桥(割边)的关系:

1)有割点不一定有桥,有桥一定存在割点(从判定方式也可以发现)

2)桥一定是割点依附的边。

6、7、1、2、3、5、4

判断割边的方式和割点差不多:对于某个顶点u,如果有loωυ>=dfnᵤ ,那么u-v为桥求解割边时和是不是根节点无关

割点集和割边集都是通过Tarjan算法求得,无论通过哪个点开始都可以

void Tarjan(int u, int p) {

low[u] = dfn[u] = ++dfncnt;

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