自然数体系的构造性原理（三） (4-1)

4.3、自然数体系从有限向无限跃变的认识论解释

我们知道，理论上纯字符可以在纸张、电脑等二维面上沿着一维线无限次地组合排列下去（实际输写时可以一行一行上下衔接），所以我们可以在大脑中，把元序列中的三维或二维的实物符号统一作二维化处理，然后用二维化了的元序列符号在纸张平面上组合“虚构元素物”，从逻辑上无限延伸元序列的长度，把有限的元序列变成了无限序列。

不难发现，是符号组合法的巧妙运用，才使得数体系的构造摆脱了有限元素物对应有限数的困境，使得数体系实现了从有限到无限的飞跃。

本构造论不仅完成了对自然数体系的自然性溯源，也能解释为何自然数起步于有限个数的自然物，却能不受宇宙中的自然物基数的限制的原因，——因为我们人类不仅可以通过增加元序列符号，无限提高数体系的进制率，指数级地提高数符号的基数表达能级，还可以通过乘方法表示法无限增加数的位数，所以可以自由构造自然界中根本不存在的基数，譬如“1000⁹⁹⁹⁹⁹”这个大自然数（仅用了9个符号！这个大自然数若是100进制数的呢？），它表示的基数毫无疑问已远超过人类已知宇宙的量子数的总和（已知宇宙的粒子数≈3.28×10⁸⁰）。

4.4、本构造论的数学哲学意义

4.4.1、对“基数”概念的分类

我们知道，从作为个体的自然数系统在整个自然数序列中的物理占位看，序数系统仅是对自然数个体在自然数序列中的物理位置点的单指和标记，所以任一序数，不论其位数多么长，它在自然数序列中的那个物理位置点都是直观、自明的，并不具有抽象性。说明数学哲学经常谈论的“抽象数学对象”、“抽象实体”，在以自然数为对象时，实际上只能指“自然数的基数”。

这里应当进一步指出:数学语境中的基数概念抽象度是不同的，可分为两类:一类是可以被物理对象直观刻画的具体性的基数，例如“●●”、“|||”、“二”等；一类是有物理基础，但是又不能被物理对象直观呈现的抽象的基数，例如“有理数集合的基数”、“自然数集合的基数”、“超穷基数阿列夫零”等。显然地，以上所说的两种抽象度不同的基数概念是事实的，且这两种基数概念的内涵、外延都是明确的，因此我们认为可以把以上两种基数作进一步的逻辑分类及概念命名:把能被物理对象直观呈现的基数称作“物基数”；把有物理基础但又不能被物理对象直观呈现的基数称作“相基数”。

有了以上基数概念的抽象度分类（分类的意义可见于下文阐述中），我们就很容易明确在以“自然数”为抽象数学对象的讨论中，“抽象数学对象”、“抽象实体”究竟指自然数的哪个方面。显然不能指直观性的序数，只能指“基数”，——要么指可物理化例示的“物基数”，要么指抽象的“相基数”。另外还需指出:数体系的构造必须基于物理材料及空间，所以自然数符号指代、表征的基数是“物基数”，并不是抽象的“相基数”。

4.4.2、夏皮罗对“位置即对象”的解释是错误的

夏皮罗先物结构主义虽然正确指出了自然数符号系统表征的物基数，来自自然数系统之间的一维空间结构关系，但是夏皮罗并未认识到自然数的基数只能通过序数符号指代的原理。

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