数理逻辑-余俊伟（三） (4-4)

（形式化的哥德尔第二不完全性）. 设 T 是包含 PA 的、可计算公理化的理 论。如果 T 是一致的，那么 `T Con(T) → ¬✷TCon(T)。

柯尔比–帕瑞斯定理

5.4.7 相关推论

哥德尔第一不完全性定理可被视为哥德尔第二不完全性定理的直接推论。 还研究了可证公式的不动点、典型理论等。

5.5 希尔伯特纲领所受影响

5.5.1 哥德尔不完全性定理的冲击

哥德尔第一不完全性定理冲击了希尔伯特纲领的完全性，哥德尔第二不完全性定理冲击了希尔伯特纲领的一致性。哥德尔第一不完全性定理在一定程度上间接否定了希尔伯特纲领的可判定性。

5.5.2 哥德尔之后的希尔伯特纲领

虽然希尔伯特纲领受冲击但有积极影响，证明论、反推数学发展起来了。希尔伯特纲领也调整了：虽然目前还不确定是否所有的数学都能被形式化到同 一个形式系统，但目前已被广泛接受的是，大多数的数学都能被形式化到一阶公理系统 ZFC中，虽然没有一个形式系统可以证明所有真的数学命题，但一阶公理系统 ZFC 可以证明现行绝大多数数学分支的绝大多数真的数学命题，虽然PA、PA一致的理论都不可攀的但发现了一些非平凡、可判定的其他理论，对什么是有穷方法的定义也扩展了。

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