数理逻辑-余俊伟（二） (5-1)

亨廷顿对实数系统进行了二阶公理化，研究了范畴性、范畴定理，此后成为模型论重要性质和基础定理。勒文海定理标志模型论开始。勒文海-斯库伦定理：一阶逻辑中所有可满足的可数一阶公式集都有可数模型。后来应用于集合论得到斯科伦佯谬（可推出不可数集合存在的策梅洛公理系统有可数模型）。

希尔伯特明确区分了一阶逻辑与其他逻辑。还引入高阶逻辑。伯内斯提供了严格的希尔伯特公理系统。确立一阶逻辑的主体地位。

哥德尔证明了一阶逻辑的完全性。

1930年数学基础三大主义成型：逻辑主义、直觉主义、形式主义，引导集合论与一阶逻辑结合作数学基础。集合论的形式化后来被证明都为一阶的，一阶集合论能推出大部分数学因此不必用高阶逻辑。（此书认为）高阶逻辑实质是集合论。，集合论的公理系统又是一阶的。一步步终于确立一阶对高阶的优势地位，集合论与一阶逻辑的数学基础地位。

3.2 语法

3.2.1 基本语法

自然语言的初始符号为汉字等等，人工形式语言之一阶语言的初始符号由非逻辑符号和逻辑符号组成。非逻辑符号是常量、关系、函数、元数函数符号，逻辑符号是变元、等词、联词、量词、语法逗号、语法括号。符号无意义，只有语义说明后才有意义。π为非逻辑符号。对一阶逻辑来说逻辑符号都相同，差别在于非逻辑符号。

语言的阶：公式中量词只作用于变元符号即一阶，否则为高阶。命题语言无量词，为零阶。

然后举了很多一阶语言的例子：一阶图、一阶序、一阶半群、一阶集合论、一阶群、一阶环、一阶域、一阶布尔代数、一阶算术，有些是关系语言有些是代数语言有些啥都不是。

一般一阶语言都有穷、可数。

3.2.2 无歧义性

给定初始符号后，我们生成了项和公式，类似于自然语言词和句，但没有歧义。要证明证明项和公式的无歧义性（唯一可读性），先证项的可读性和唯一可读性，再证公式可读性和唯一可读性。

3.2.3 递归定义

项和公式是递归定义来的，所以要定义关于项或公式的某个概念，也需类似地进行 递归定义，这是由（结构）递归定义定理保证的。证项的结构递归定义，再证公式的结构递归定义，再证对子项封闭的项集上的结构递归定义，再证对子公式封闭的公式集上的结构递归定义。

3.2.4 归纳证明

项和公式是递归定义来的，所以要证明关于项或公式的某个性质成立，就需要归纳证明，这是由（结构）归纳证明定理保证的。先证公式的结构归纳证明，再证对子项封闭的项集上的结构归纳证明，再证对子公式封闭的公式集上的结构归纳证明。

3.2.5 自由变元

数学两种变元：自由变元和约束变元。把它引入到一阶逻辑中。

3.3 语义

3.3.1 结构与赋值

符号需要语义说明才有意义。先赋予量词、函数等意义，即确定论域和解释，论域和解释统称结构。再赋予变元意义，即赋值。结构常见有关系结构、代数结构或者啥也不是，可以根据情况用关系图或者代数式表示。

3.3.2 塔斯基语义

引入结构和赋值完成语义说明后，对项和公式的真假进行语义规定。

基于塔斯基的理论，一个逻辑语句的真值取决于语句中的词语在给定的模型中的解释。

3.3.3 合同与代入

合同引理：因为其他部分已经确定，因此真值只与自由变元赋值相关。

代入分为代入和自由代入，还有代入引理。

3.3.4 重要有效式

有效式被分为联词类、等词类、量词基础类、量词交换类、量词分配类、量词消去类、代入类。

检验有效式的主要工具：合同引理、代入引理、逻辑等价替换定理、逻辑等价易字定理。

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