数理逻辑-余俊伟（一） (5-5)

命题逻辑有缺陷：不处理原子命题内部结构。因此推广命题逻辑为一阶逻辑。

3.1.2 早期简史

一阶逻辑源自两个传统：英美代数传统、德国实分析传统。发现过程三条路径：布尔-德摩根-皮尔士，弗雷格，布尔-皮亚诺。地位确立有三点：独立的主体地位、与高阶逻辑比的优势地位、与集合论共同的数学基础地位。历史为网状结构。

布尔把三段论转为代数演算，把符号理解成类或命题，量词被归约，不处理量词和多元谓词，也不处理叠置量词，即命题逻辑的一元一阶逻辑片段。德摩根、皮尔士、皮亚诺扩充布尔的系统：引入n元谓词和引入量词。弗雷格也独立完成了这些步骤。

德摩根引入关系逻辑定义关系的逆关系和对立关系，并讨论复合关系，扩展了三段论逻辑。缺点是只处理二元关系，符号也笨，无布尔联词符号。

皮尔士简化了布尔的系统，重新定义并集（逻辑加）使得交集非空时能用，也研究复合关系，且可以n元关系。后来引入量词，把量词视为联词的推广。把全称量词视为多个公式的合取，存在量词则是多个公式的析取，从此可将多个量词叠置来构造任意深度的量词，后来启发勒文海，得到勒文海-斯库伦定理确立了一阶对高阶的优势地位。皮尔士还讨论命题逻辑，给出命题逻辑重言式判定顺序。讨论第一内涵逻辑（一阶逻辑），量词只能作用于个体变元不可作用于谓词，并给出公式转为前束范式的规则。讨论第二内涵逻辑，量词可作用于谓词。他从唯名论立场支持第一内涵逻辑反对第二内涵逻辑。

施罗德介绍布尔和皮尔士时不区分一阶二阶量词，有次将某个二阶全称量词视为无穷多个一阶量词的合取启发了勒文海得到勒文海定理。

弗雷格则独立发现一阶逻辑，他认为实分析数学基础不够可靠因此要从逻辑中推出。对函数（可视为关系）和变元分析促使引入关系（谓词），实分析中有大量含量词的命题则又引入量词。他还区分了阶：如果概念A落在概念B下，则相对的B即二阶，还考虑过三阶。

弗雷格比皮尔士早，且独立，公理化更精确，逻辑更普遍，对后世影响更大。但弗雷格不区分第一内涵逻辑这些，以及符号系统复杂。

皮亚诺独立把关系和量词引入逻辑，还做了算术公理化。他的公理化是二阶的但他没有意识到阶。引入了各种符号。

罗素发现罗素悖论，认为要避免类，于是创立了类型论，型即阶，区分了第一层次型和高层析型，这与将第一层次型对应的一阶逻辑视为独立的研究对象不同。虽然罗素和怀特海提供了类型化的公理系统，但它们将其视为陈述逻辑真概念的解释性系统而不是形式演算，因此没有区分逻辑和元逻辑，就发现不了一阶逻辑有别于高阶逻辑的元逻辑性质，因此不能给予一阶逻辑足够的地位。

综上所述，一阶逻辑高于高阶逻辑地位还没确立，要么被包含在高阶里要么被视为和高阶同等。后来勒文海-斯库伦定理和完全性等重要元逻辑性质被发现，才确立主体地位。

希尔伯特最早谈论元逻辑，并提出希尔伯特问题。希尔伯特还做了一些不含归纳法算术一致性的工作，标志着证明论开始。

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