数理逻辑-余俊伟（完结） (2-1)

第6章 模态逻辑

6.1 现代模态逻辑的产生背景

刘易斯发展了严格蕴含逻辑系统系列，期待克服实质蕴涵的“不符合日常蕴涵的意义”缺点，避免实质蕴涵怪论。根据上面刘易斯的分析，p 严格蕴涵 q 相当于 p 实质蕴涵 q 是必然的，于是研究“必然”算子。这类语词在语言学上属于情态词。逻辑学 称之为模态词，称含有模态词的命题为模态命题。模态命题表达了说话者的断定语气的 强弱。“必然”表达的语气显然强于“可能”所表达的。我们把不含模态词的语句的情态 称为实然，其强弱程度居于“必然”与“可能”表达的情态之间。模态逻辑就是研究模 态命题逻辑特性的逻辑理论。

我们很难说清楚含有多个模态词叠置或嵌套而得到的模态命题的涵义。我们也无法准确说出模态词与其他命题 联词或量词组合的涵义。1950 年代前后，由卡尔纳普、欣提卡、克里普克等人开创的可 能世界语义学解决了此问题

6.2 模态命题逻辑简介

6.2.1 语法

区分四种公式：

(1) 原子公式：命题变元是公式； (2) 否定式：如果 φ 是公式，那么 (¬φ) 也是公式； (3) 蕴涵式：如果 φ, ψ 是公式，那么 (φ → ψ) 也是公式； (4) 必然式：如果 φ, ψ 是公式，那么 (✷φ) 也是公式。

6.2.2 语义

定义 6.2.4. 一个框架 F是一个二元组hW, Ri，其中，W 是一非空集，R 是 W 上的一个二 元关系。设 F = hW, Ri 是一个框架，F 上的一个模型 M是一个三元组 hW, R,Vi，其中 V 是从原子公式集到 ℘(W) 中的一个映射。 W 通常被称为可能世界集，其中的元素通常被称为可能世界。

6.2.3 常见模态命题逻辑及其公理化

框架有效最好地刻画了逻辑的普遍性。我们熟悉的许多语法推导规则，如 重要的分离规则、代入规则等都是保持框架类有效的。在模态逻辑中还有一条必然概括 规则，也是保持框架类有效的。

人们通常借助框架上的二元关系来界定框架类。常见的框架类包括自返框架类（由 所有自返的框架组成）、对称框架类、传递框架类等等。以上这些框架类交叉组合又可以 得到新的框架类，如自返且传递的框架类等等。由全体框架构成了最大的框架类。

6.2.4 模态逻辑量化及其哲学困惑

模态命题逻辑语言的基础上增加量词、谓词符号（或还增加等词符号、函数 符号及常项）及个体变元，就得到模态谓词逻辑的语言。相应地，在项的构成规则以及 公式的构成规则中增加量化公式（或还有等式），也可以在谓词逻辑的语言上增加模态 词而得到模态谓词逻辑的语言。

量化模态逻辑在哲学上有许多困扰，主要包括可能世界的本体论地位、跨世界的同 一性、对本质主义的承诺、有效性多元（逻辑多元）等等。

6.3 从逻辑到哲学

6.3.1 弗雷格的名称理论

名称的涵义理论主要有两个流派：以弗雷格、罗素为代表的摹状词理论，以穆勒、克里普克为代表的直接指称理论。摹状词理论认为表达式通常有涵义也有指称，专名、通名以及句子都是如此。直接指称理论认为专名只是指示词，通名也是如此。

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