毕达哥拉斯和柏拉图的数学 (3-2)

据说，“万物皆（整数和有理）数”的理论一度出现了破绽。该学派内部有人发现，根号二不能表示成任何整数的比，所以不是所有的事物都和有理数联系在一起。按照我们今天的话说，根号二是无理数。据说无理数的发现导致了历史上的第一次数学危机，发现这个秘密的人被他的师兄弟姐妹们扔到了大海里，毕达哥拉斯学派也不得不为自己的理论打上了补丁。这个故事和和毕达哥拉斯杀牛的故事一样，可信度为零，不过倒是很好的可以激发中学生们爱好数学的趣味读物。

柏拉图数学建模的特殊意义

说了半天，是想说一点，毕达哥拉斯和他之后的数学学派通常被认为是把数学引入哲学和宗教的始祖。从这点意义上来说，毕达哥拉斯的确早于柏拉图强调数学的重要性。

但是，柏拉图关于四元素建立数学模型，比起毕达哥拉斯来说，有着更为先进的意义。

柏拉图把数学当做工具，而不是直接把数学和数字宗教化。他用数学模型来糅合当时的各种学说，可谓是当时的“大统一理论”（物理学家很喜欢这个词）。

我们来看看柏拉图的数学建模到底串起了多少他之前的学说。

第一，毕达哥拉斯学派的学说。

前面说到，毕达哥拉斯学派认为三角形构成了宇宙万物，更进一步的，由于该学派对勾股定理的热爱，认为宇宙万物都是由直角三角形构成的。事实上，通常认为柏拉图《蒂迈欧篇》的主角蒂迈欧的人设就是毕达哥拉斯学派的数（哲）学家，所以柏拉图借着蒂迈欧讲话，从直角三角形出发，来构成四种正多面体，而把四种正多面体和四种元素联系起来。

第二，恩培多克勒的四元素说。

恩培多克勒认为四种元素相互独立，每每不同，没有优先，也没有高于这四种元素的另外高级别的物质存在。但是恩培多克勒和他之前的哲学家们只能絮絮叨叨地进行各种文字描述，柏拉图却说，你们不要吵了，我用几何学可以解释四种元素。

第三，古希腊当时的原子论。

原子论是一个叫做德谟克利特的色雷斯人提出来的。亚里斯多德把原子论的功劳也加在了德谟克里特的老师留基伯身上。既然万物起源不是“一”，那么凭什么万物来自四种元素？为什么万物不能来自更多的元素？事实上，有希腊哲学家外推到极限地说，万物来自无穷种元素！原子论为了协调一和多，认为万物都是由看不见的小微粒构成的，微粒占有体积，而微粒和微粒之间都是绝对的虚空。这些微粒被称为原子。原子在虚空中的运动和聚集产生万物。

也有人认为原子论起源于印度，因为印度的哲学里也有原子论的学说，据说德谟克里特曾经去过印度。关于原子论我们后面还会展开说。德谟克里特并没有说明，世界上到底有多少种原子？ 当然也有可能德谟克里特说过，只是没有流传至今。他是柏拉图的同时代人，比柏拉图年长几十岁。他写过很多的哲学和数学作品，是柏拉图很大的竞争对手，据说柏拉图很想烧掉德谟克里特所有的作品——果然德谟克里特到现在一部作品也没有留下来。

柏拉图虽然厌恶德谟克里特，但是他接过老德的原子论模型，认为原子微粒只有四种，而四种原子构成了四种元素，这是把元素说和原子论结合在一起了。在今天看来，柏拉图具有相当伟大的洞察力，因为我们现在也知道元素周期表上的元素是由基本粒子构成的。

用数学模型把各种学说统一起来，这是柏拉图的壮举，而不是毕达哥拉斯的壮举。这使得柏拉图哲学有着与众不同的特色。哲学家不再只是单纯地用语言描述和文字辩论，数学模型也可以拿来研究哲学问题！从这个意义来说，柏拉图的数学模型，要比毕达哥拉斯的数学神秘主义影响深远的多。

现在的科学总喜欢搞数学建模，为自然建立一套数学规律，这套思路的祖师就是柏拉图。

再说几句数学

谈到希腊数学，忍不住想多说几句。

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