Haskell和自然数之基础篇（一） (5-1)

对自然数的理解，是随着自己的成长而不断深入的。在小学的时候觉得很自然就理解了，很自然就用起来了，加、减、乘和整除很自然就学会了，感觉没有什么障碍。到了初中的某一天，突然想到一个问题：1 + 1为什么就是等于2呢？没有理由的就指定了是2，没有推导和证明的过程，感觉很不自然。于是自己思考了好几个月，觉得似乎想通了，写了一篇文章，然后被一些同学嘲笑了。现在也想不起来当时写的是什么了，那篇文章也不知道遗失到哪里去了，不过应该还是没有写清楚究竟为什么1 + 1等于2，要不然我是不会忘记写的是什么的。于是这个令人疑惑的问题一直困扰着我，一直到参加工作，也依然时不时会惦记着这个问题。

直到我学习了Haskell，看到一篇关于自然数的表示文章，用Haskell清晰的定义了自然数，定义了自然数的加法和乘法。我终于明白了1 + 1为什么就是等于2，这个从自然数的定义和加法的定义很自然就可以推导得到了，证明起来很容易。在这之后，又看了皮亚诺公理的自然数定义，对自然数的定义更加清楚了。在这之前，我听说过皮亚诺公理，但是并不感兴趣，还感受不到自然数公理化的意义，所以并没有去看。

大概两个月前，我收到了刘新宇的新书《同构--编程中的数学》，看到了这本书中对自然数的论述，然后又重温了丘奇数的概念。觉得可以写点关于自然数的东西了。这是一个系列，有两篇文章：第一篇讲自然数和丘奇数的基础概念和构造，以及在其上的基本运算，第二篇讲自然数的变换，结合F-Alg来讲如何消除自然数的结构得到其他的类型的值。

好了，让我们从一无所知的状态来开始了解什么是自然数吧。我们最早了解自然数是从数数开始的，当我们不知道桌上一堆东西有多少个时，最简单的办法就是数一数有多少个。数一下手指头是1 个，数两下手指头是2 个，数三下手指头是3 个，这样一直数下去，直到数完了这堆东西。于是我们就得到了一系列的数：1, 2, 3, ...，这些数和数手指头的次数的对应关系如下。

1 ： 数一下手指头

2 ： 数两下手指头

3 ： 数三下手指头

......

当桌上没有东西的时候，我们就不用数手指头了，因为什么都没有，所以什么也不用做。这个时候我们用0 个来表示桌上东西的数量。于是有下面这个新的数和数手指头的次数的对应关系。

0 ： 什么也不做

1 ： 数一下手指头

2 ： 数两下手指头

3 ： 数三下手指头

......

因为我们一无所知，就像幼儿园的小朋友一样，还弄不明白两下、三下是怎么来的，是什么意思。我们再来看一遍我们数数的过程，一开始是什么也不做，然后将一个东西摆到桌子的另一边，做一次数手指头的动作，再将一个东西摆到桌子的另一边，再做一次数手指头的动作，这样每将一个东西摆到桌子的另一边，我们都接着做一次数手指头的动作，直到把桌子上的东西数完。于是我们就得到一个数手指头的动作的序列，这个数手指头动作的序列的次数就是东西的个数。因此有下面的数和数手指头的动作序列的对应关系。

0 ： 什么也不做

1 ： 数手指头 什么也不做

2 ： 数手指头 (数手指头 什么也不做)

3 ： 数手指头 (数手指头 (数手指头 什么也不做))

......

我们把上面的什么也不做用O 来表示，把数手指头这个动作用S 来表示，于是上面的数和数手指头的动作序列的对应关系就变成了下面这样。

0 ： O

1 ： S O

2 ： S (S O)

3 ： S (S (S O))

......

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