超宇宙计划【第三版本】三 (2-2)

e R是常数。我们声称m#(R)满足SIMH#(w，).的确，让M是m#(R)满足某句中(w，)的一个由#生成的w，保留外部模型，设x为m#(R)的序数高(=M的序数高)HYPERUNMERSE计划([6]定理9.1)，对于某些R=TS的实S.M有一个#生成的w，-保式外部模型W，形式为LaIS].当然α最小，所以LaIS]是#生成的。所以W等于m#(S)W的w，等于m#(R)的ws.通过对尺的选择，m#(R)也有了一个满意的可定义的内模型中(w，).□然而，与SIMH(wy wz)一样，SIMH#(w，，wz)的一致性是开放的.4.9极大性协议该方案旨在将高度和宽度最大化的研究组织为三个阶段.阶段1.最大化序数(高度最大化).阶段2.把序数最大化，把基数最大化.阶段3.最大化序数和基数，最大化功率集(宽度最大化).阶段1中#-generation负责，现在我们关注第二阶段，基数最大化.根据阶段1，我们现在假设V是#生成的，当讨论V的外部模型时，我们只考虑那些也是#生成的.我们想要一个标准，即对于每个基数c，c+是尽可能大的，首先，让我们考虑k=w的情况，所以我们想要最大化w，.基本的问题当然是这样的。#generated模型的set泛型扩展也是#-generated的：的事实，V有一个由#生成的外部模型，其中Wr是可数的.但我们肯定会想要这样的东西wVa]对于每个实x是可数的，这样做的原因是w(m)XY]，不像一般的wy，在V与其所有外部模型之间是绝对的.定义16.设p是V中的一个参数，p是V中的一组参数，如果存在一个中公式，其中参数来自p.则p相对于p是强绝对的弗里德曼定义了V中的p和V的所有#生成的外部模型，这些模型保留了中10中提到的参数的遗传基数.通常，我们认为P由某个无限基数k的所有子集组成，在这种情况下，上述定义中的基数保存指的是u以内的基数.Card Max(x+)(kan无限基数)。假设序α相对于x的子集是强绝对的，那么x的基数最大为K.可以证明，如果K是正则的，则存在一个集合强制扩展，其中CardMax(u+)成立.问题17.CardMax是否一致，其中Card Max表示所有无穷大基数c的Card Max(c+)，包括正则和奇异？内部基数极大值另一种实现基数极大性的方法是将V的基数与其内部模型的基数联系起来，两个较大的内都摸型是HOD(遗传序数可定义集的类)和较小的内部模型S([13]的稳定核心)，V是每个模型上的类泛型.设M表示内部模型.M-cardinal侵犯，对于每一个无限大的基数K，M的ut大干ut.在[9]门中，证明了hod-基数违背是一致的，我们能加强这一点吗？问题18.对于每个无限基数K，kt在HOD中是不可访问的，可测量的，甚至是超紧凑的，这是一致的吗？这和被稳定核心S取代的HOD一致吗？Shelah的一个结果表明，对于某个固定子集xofk，当k是不可数共终的奇异强极限基数时，k的所有子集都属于HODx，根据[8]，这在可数余性下不一定成立，问题19.对于r的每个子集x，对于每个无限基数K，Kt大于Sx(相对于×的稳定核心)的nt。这是否一致？10我们感谢其中一位审稿人指出，早期版本的基数极大性与较弱的参数绝对性假设是不一致的，在[18]的定理10中也出现了类似的弱绝对参数现象。HYPERUNMERSE计划HOD和S的一个主要区别是，在HOD上，任何集合都是集泛型的，而S则不是这样.问题20.对于每一个无限的基数c，xt的某个子集对于xet的任何子集x都不是set-gcnericoverSx.这是否一致对这三个问题中的任何一个的青定回答都将为V提供一个强大的内部基数极大性原则.阶段3：将序数和基数最大化后，将功率集最大化。这是我们重新讨论S1MH的地方，但只是在#生成和红衣保存的上下文中，再次假设V是由#生成的.V中的参数p是绝对基数，如果存在一个无参数公式，该公式定义了V的所有#生成的外部模型中的p，这些模型具有与V相同的基数。SIMH#(CP)(保持基数的SIMH#)，设p是一个基数-绝对参数，V+是V的一个由#生成的外模型，具有与V相同的基数，中是V·中包含参数p的句子，那么中在V的内模型中成立。问题21.SIMH#(CP)是否一致？注意，simh#(CP)意味着CH的强烈失败.4.10宽度不可辨认性极大性协议的一个替代方案(理想情况下应该与之结合)是宽度不可分辨，其动机是提供V的宽度描述，类似于#-generation提供的高度描述.回想一下，使用#-generation，我们得到以下结果：VeV，.＜V=V.＜Voo+1....其中，当＜时，Vi是Vi的铁初始段，此外，模型Vi在强烈的意义上构成了一个不可分辨的模型集合。这张图是从高度反射开始分析的结果，分析的出发点是，V必须有无限多的V中基本的铁起始段Vz.类似地，我们引入宽度反射。我们想说V有适当的内部模型，这些模型是“V中的基本模型”，当然这不可能是字面上的弗里德曼如果V0是V的一个初等子模型，序数与V相同，那么很容易看出Vo等于V.相反，我们使用初等嵌入.宽反射，对于每一个序数α，都有一个合适的V的初等子模型H，使得VaEH和H是可接受的，即HOVa对于每一个序数都属于VB.同样：宽反射，对于每一个序数xg，都有一个非平凡的初等元素jV。→V，其临界点至少为α，使得j可以接受，即对于每一个序数βj(Va)为都属于V.如果有一个非平凡的可适应jV。→V，就像宽度反射的第二个公式一样，这种关系是可传递的.命题22(a)如果Vo＜V，则Vo是V的固有内模型.(b)宽度反射相对于Ramsey基数的存在是一致的，证明(a)这是根据Kunen定理得出的，从V到V不可能有非平凡的初等嵌入，(6)假设k是拉姆齐，然后，可以得出M=(Vs E，…)形式的任何结构都有一个无界的不可分集合，即K的无界子集1，使得对于每一个n，来自1的任意两个递增的n元组满足M中的相同公式，现在将此应用于M=(Vx，E，＜)，其中＜是长度K的Vx的好阶，设J为1的任意无界子集，使得AJ无界，对于任意x＜w，设H(JUa)表示JUα在m中的Skolem壳，则H(JUα)是Vk的一个初等子模型，不等于Vx，因为N中没有大于x的元素属于HUα.由于Vx包食k的所有有界子集，因此H(JUx)是可顺应的.□上述(b)中参数的变体产生任意长有限链V＜V＜…＜Vn的一致性，但要获得无数这样的链条似乎更加困难，我们甚至可以提出更加雄心勃勃的要求：问题23.长度为Ord+1的VV，…＜V使得Vi的并集等于V是否一致？后者将是制定一致的宽度不可分辨性标准的良好开端，作为#-generation提供的高度最大值标准的宽度最大值的类比.HYPERUNMERSE计划4.11无限的知识通过OMT(V)，V的外部模型理论，我们指的是含有V的所有外部模型中的任意参数的句子类，我们已经使用V-逻辑看到OMT(V)在V上是可定义的+，然而，对于许多宇宙V.OMT(V)实际上是一阶可定义的，这些宇宙被认为是全知的.回想一下下面塔斯基关于真理不可定义的结果的版本：命题24.包含V中的参数的句子集在V中是不可(一阶)定义的。令人惊讶的是，Mack Starley证明OMT(V)确实可以被vdefined.定理25.(M.Stanley[301)假设在V中有一个适当的可测量基数的类，并且这个类确实是V+-平稳的，即Ord(V)对于V+-可定义的函数是正则的，并且这个类与Ord(V)中V+-可定义的每个梅花相交，那么OMT(V)是V可定义的.证明，使用V-logic，我们可以将一阶句子中(参数来自V)在V的所有外部模型中成立的陈述转换为V-logic中句子中“的有效性，这是一个可以通过E，句子在V+上表达的事实，利用这一点，我们证明了在V的所有外部模型中都成立的中的集合是V可定义的.由于Ord(V)对于V+-可定义函数是正则的，我们可以在Ord(V)中形成俱乐部C，这样对于K(C)，就有E，-初等嵌入从Hyp(Vx)到V+(临界点K，将K发送到Ord(V)).的确，C可以被选择为Vt-definable.对于C中的任意K，设了为Vxlogic的句子，使得中在Vx的所有外部模型中都成立，如果中有效(a】，Hyp(Vs)的性质)，根据无素性，如果？+有效，也有效。现在假设中在V的所有外部模型中成应，即中是有效的，那么4+对于C中的所有A都是有效的，并且由于可测值形成了V+-平稳类，因此存在一个可测k，使得中是有效的.相反，假设中对于一些可测量的x是有效的，现在选择一个正常的测度U对K进行迭代(H(x+)，U)进行Ord(VI步，以获得一个良好的结构(Hr，Ur).(这个结构是有根据的，对于任何可接受的集合A，任何弗里德曼对于A中的任意序数α，可以在不失去x阶的基础下选代A中的测度。)对于某些V·EV，H·等于Hyp(Vs).根据元素，句子t，它断言中在V+的所有外部模型中都成立，但由于V+是V的内族型，中也适用于V的所有外模型。因此，对于某出可测量的K，中属于OMT(Vx)，则恰好属于OMT(V)，并且这是一阶可表达的，口全知是否需要可测量的基数？事实上，斯坦利只能使用拉姆齐红衣支教，但就无所不知的一致性而言，我们有以下几点：定理26.6[16])假设以不可达且GCH成意，然后有一个形式为VxiG]的全知换型，其中G是通用于V的。此外，Vx[GI携带一个可定义的好阶。全知证明，可以在内部处理任意外部模型中的真值，其方式类似于使用集强制的标准可定义性和真值引理处理集泛型扩展中的真值，事实上，情况甚至更好，因为整个外部模型理论都是一阶可定义的，而不仅仅是这个理论局限于有限复杂的句子，就像集合强迫的情况一样。(关键的区别在于，在集合强制的情况下，地面模型V在其集合泛型扩展中是统一可定义的，因此完整的OMT(V)不能通过命题24在V中是一阶可定义的，出于同样的原因，一个无所不知的V不能在其任意的外部模型中被统一定义.)还请注意，根据定理25，全知与#-generation很好地合成：我们只需要处理具有足够多可测量基数的模型.4.12惠普的未来我们已经讨论了类型1的证据，来自集合论作为数学分支的角色，以及类型2的证据，来自集合论作为数学基础的角色，在第一种情况下，判断证据的标准是它对集合论的数学发展的价值，而在第二种情况下，判断证据的标准是它在解决其他数学领域的独立性(并为其提供工具)方面的价值，在这两种情况下，证据的分量都是由该领域研究人员的共识来衡量的.第三类证据也由研究集会论(及其哲学)的研究人员的共识来衡量，但它来自对内在的分析HYPERUNMERSE计划用极大迭代概念表示集合概念的极大性特征，超宇宙计划提供了一个从这个概念推导数学结果的策略。为了更清楚地说明HP如何推导V的极大值的结果，我将讨论#生成的情况和搜索最优极大值准则.#-新一代是惠普的一大成功。它为高度极大值提供了一个强大的数学标准，包含了所有已知的高度极大值原则，并提供了一个优雅的描述，描述了V的高度如何通过大基数的存在(或等效地，通过0#的存在)以类似的方式最大化L的高度，我们有充分的理由相信，#-geheration将被集合理论家和集合论哲学家所接受，作为高度极大值的确定表达。宽度极大值当然比高度极大值困难得多，各种可能的宽度极大值准则的制定，分析和综合还处于早期阶段，基本的1MH是一个很好的开始，但是必须使用#-generation进行综合，目前最大的挑战是处理利用参数的宽度极大值公式，极大性协议是一种很有前途的方法，但需要强调的是，宽度极大原则的数学分析具有挑战性，在程序开发中肯定会出现一些错误的转折，导致原则不一致(这种情况已经发生过几次)，这种错误的转弯并不会对程序造成损害，而是提供了对极大性本质的有价值的进一步理解.HP的目的是经过广泛的数学工作，得到集会字宙的高度和宽度的最优极大性判据，提供极大迭代概念的完整数学分析，正如已经说过的，验证这样一个标准是最优的取决于研究集合论及其哲学的研究人员的共识，最大迭代概念的可导性是指这种最优判据的形式可导性，最令人感兴趣的是从极大值中推导出的一阶语句，但是已经很清楚的是，程序中开发的标准，例如本文中提到的标准，几乎完全是非一阶的。我的预测是，最佳准则将包括某种形式的SIMH，因此意味着CH的(一阶)失效.弗里德曼我仍然乐观地认为，当这个项目的发现与集合论的进一步工作结合起来，并将其应用于解决数学其他领域的独立性问题时，集合论真理命题所表达的预测将会令人满意地实现，但首先有很多工作要做。

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