莱因哈特

已知κ 是超级莱因哈特基数，则 Vκ 是 V 的初等子模型，但对于莱因哈特基数我们并不能得到这个结论，因为莱因哈特基数不是一阶可定义的，所以不一定会小于某个 Σₙ-正确基数，而本文则提供了一个证明思路以说明存在一个模型，在其中莱因哈特基数不是 Σ₃-正确基数，甚至小于 Σ₃-正确基数。

那么此处假设κ 是莱因哈特基数则 Vκ 是 V 的 Σ₃-初等子模型：

让我们在 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”下证明

记δ 是伯克利基数而 θ 是大于 δ 的最小不可达基数

根据伯克利基数的定义，可知对任意传递集M ⊆ Vθ ，均存在非平凡初等嵌入 j：M → M 并且 cr(j)＜δ ，故 (Vθ，Vθ₊₁) 也是二阶 ZF+存在莱因哈特基数”的模型，记 κ 为这个莱因哈特基数

由于Vθ 中不会存在 δ ∈ M 但却不存在 j：M → M 并且 vr(j)＜δ 的 M 和 j ，所以 δ 在 Vθ 中仍是伯克利基数。故 Vθ 满足“存在x，x是伯克利基数”

但因为莱因哈特基数也是可扩基数，由于最小的伯克利基数下不存在可扩基数，所以κ 仅是在 Vθ 中被认为是莱因哈特基数和可扩基数，在 V 中并不是

可由于Vθ 满足“存在x，x是伯克利基数”，而这是一个 Σ₃ 命题，故 Vκ 也满足“存在x，x是伯克利基数”。记 σ 为这个伯克利基数，显然 σ 在 V 中也不被认为是伯克利基数

但既然Vκ 认为 σ 是伯克利基数，考虑到 σ＜κ 并且 κ 下存在无界多个不可达基数，就必然存在无界多个大于 σ 的不可达基数，记第二个大于 σ 的不可达基数为 𝓠

由于V𝓠 中不会存在 σ∈M 但却不存在 j：M → M 并且 cr(j)＜σ 的 M 和 j ，所以 σ 在 V𝓠 中仍是伯克利基数。

故V𝓠 满足 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”

而如果Vθ 中存在 Σ₃-正确基数 λ＜κ ，而 Vλ 满足“存在x，x是伯克利基数”，记 σ 为这个伯克利基数，由于 κ 下存在无界多个不可达基数，Vθ 至少满足“存在两个大于 σ 的不可达基数”这一以 σ 为参数的 Σ₃-命题，故 Vλ 也满足。记第二个大于 σ 的不可达基数为 𝓠 ，则 V𝓠 满足 ZF+“存在x,存在y，x 是伯克利基数并且 y 是大于 x 的不可达基数”。

伯克利基数怎么这么弱，Vθ 居然都不满足存在一个 Σ₃-正确基数下存在无界个不可达基数

数学往往如此奇妙，虽然我不知道可扩基数的两个定义的等价是怎么证的

即对任意序数λ ，均存在 j：Vκ₊λ → Vⱼ₍κ₎₊λ

和对任意序数λ ，均存在 j：Vκ₊λ → Vⱼ₍κ₎₊λ 并且 λ＜j(κ) 等

但假设ZF 是一致的和“怎么可能会不存在大于伯克利基数的不可达基数”的哲学信念下， ZF 肯定证不了这两命题等价。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。