数学问题：为什么要研究无穷维空间 (2-1)

因为无穷维可能更接近自然的本质

老子说：道法自然。大自然是我们的最佳导师。物理学家在大自然的"逼迫"下不得不研究多体(或无穷自由度)系统及其现象，比如： 相变。而由此而诞生的物理理论：统计物理和量子场论，是大自然对数学家的馈赠。

这个馈赠总结出来就是一条短信息：无穷维上存在有限维根本看不到的美妙数学结构‬

大家想想看，单凭想象力，你能想到的无穷维的数学结构是什么？

无限维的流形，无穷维的李代数，无穷维的函数空间，算子空间……上面提到的都是把有限维上的结构简单地推广 到无限维。我们在不知不觉中已经陷入了一个看不见的牢笼。

一个打破这个牢笼的问题是：有没有一个有限维上根本看不见的，只生活在无限维上的数学结构？

令人惊叹的是量子场论给出了很多这样的数学结构！

举个例子：第一个被构造出来的2维量子共形场论：

Moonshine共形场论：

• 她自己是一个顶点算子代数。

• 她的配分函数是 J(q), 是数论里面非常重要的所有模函数的生成函数。

• 她的自同构群是最大的有限散单群：魔群 （monster group)。

• 她包含了48个统计物理中的Ising模型的某种极限。

可以想象,这样的无穷维的非平凡的结构的存在本身就是非平凡的。所以量子场论的数学完整的构造往往非常困难。 抛开完整的构造不谈,单单她的存在性已经是个奇迹。 已经可以解释,为什么我们生活在数学结构大爆炸的时代。当我们透过不同的有限维或无限维的窗口去看,我们可能会看到很多完全不同的数学景象。

我们的宇宙是不是就是这样无穷维的怪物？藏在神秘的量子涨落，量子纠缠等现象的背后是不是一个无穷维的几何？

今天几何学家已经熟知了有些有限维流形的问题，可以通过对无穷维的loop space的研究来解决。 而拓扑学家也经常强调要去看无穷维的(co)chain space 上的结构，而不仅仅是看（上）同调

其实真正重要的还不是解决了以前的问题，而是发现了一个全新的数学新大陆，在等着我们去探险。 也不难理解为什么我们生活在一个数学结构大爆炸的时代，因为不同的视角会看到不同的数学景象。 仅仅是其中的一些应运而生的新的数学结构已经是足够的宏大和丰富，足以让数学家研究很多年。似乎数学才刚刚开始。

所以推动这场数学的新潮流，以及数学结构的大爆炸的幕后推手，既不是一两项新的技术，也不是一两个深刻的思想，而是广袤无边的，完全未开垦的数学新大陆。至少从数学的角度看，基于以上的分析，我们已经有理由相信这个由量子场论而来的研究无穷维数学结构的潮流不是一个昙花一现的时尚，而是一场革命性的洪流。

并且，不单单是为了研究现实世界而去研究无穷维的空间，而且反过来我们日常生活中的许多现象的背后可能就隐藏着无穷维的奥秘

一个无穷维的数学结构，如果单从他的生成元和她们之间的关系的角度看，非常复杂，很难有什么数学直觉。但是如果这个无穷维的数学结构描述的是一个有无穷维自由度的物理系统，比如一块固体材料。我们的物理直觉，甚至就是一块固体材料在普通视觉下效果，也已经是做了很复杂的重整化计算的结果，即把所有微观自由度积分积出来的结果。这一个过程从数学上看是非常不平凡的，也就是说有时候物理直觉本身就是一个不平凡的对无穷自由度的计算结果。

不但如此物理学家还发明了很多探索无穷维世界的理论和实验工具，对一个多体系统的物理测量本身就可以看成是一个对无穷维数学结构做了复杂计算之后而得到的整体的不变量。这个是传统的数学里面难以理解的强大工具。

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