元逻辑、经典逻辑、非经典逻辑 (2-1)

元逻辑（ metalogic）以形式化的逻辑系统为研究对象的一门学科。主要研究形式语言、形式系统和逻辑演算的语法和语义。其特征就是采用公理化的方法：在给出了原始符号、构成项和合式公式的形成规则、对词项和合式公式实施变换的变形规则（其中最重要的是代入规则和推理规则），以及作为公理的若干合式公式之后，一个形式化的逻辑系统就可建立起来。

形式化的逻辑系统一旦建立，逻辑学家对运用各项规则在系统内部推演定理，就不再有主要的兴趣，他们转而关心这些系统本身的特征，从而进入元逻辑的研究。元逻辑与逻辑的区分在于对象的不同，逻辑是刻画人们实际的、非形式的思维过程，元逻辑则探究逻辑本身的特征，其关键在于，逻辑必须形式化。

元逻辑是在希尔伯特的元数学概念及其形式主义数学哲学的启发下发展起来的。它所研究的问题中最重要的是有关逻辑系统的一致性问题、完备性问题、可判定性问题及公理之间的独立性问题等。在最简单的逻辑系统，即命题演算中，命题演算的一致性已分别由波斯特和卢卡西维茨独立地证明了。

卢卡西维茨等人证明了命题演算的完备性。真值表则提供了判定任一命题是否属于命题演算系统的能行方法。一阶谓词演算的完备性和一致性分别由哥德尔和希尔伯特所证明。丘奇则证明了对于一阶谓词演算来说，一般的判定问题是不可解的。但对只包含一元函数的一阶谓词演算来说，存在着判定程序。在这个领域内最重要的发现是哥德尔所证明的适当丰富、即至少包含自然数的算术理论的形式系统是不完全的，而且不可能通过扩展它的公理基础而完全化，此即著名的哥德尔不完全性定理。哥德尔还进而证明了，包含算术理论在内的形式系统的一致性，在该系统中也是“不可证”的。

经典逻辑（ classical logic）亦称“标准逻辑”主要指由弗雷格、罗素所创立的以二值逻辑为基础的命题演算和谓词演算系统。其主要特征是：1.是有真假二值的逻辑；2.是以实质蕴涵为基础的真值函项逻辑：3.设定个体域非空，即量词无例外地具有存在的涵义；4.单称词项总是指称个体域中的某个个体，不允许出现不指称任何实存个体的空词项。凡去掉上述特征即限制性条件中的一个或多个，或通过对之进行扩张而得到的新的逻辑系统，一般皆不称之为经典逻辑。

非经典逻辑（ non-classical logic）亦称“非标准逻辑”、“非古典逻辑”。泛指一切不属于古典形式逻辑（传统的亚里士多德逻辑）和由弗雷格、罗素所完成的经典数理逻辑（以二值逻辑为基础的经典命题演算和谓词演算系统）的现代逻辑学分支系统。与“经典逻辑”相对。

主要包括直觉主义逻辑，多值逻辑模态逻辑，模糊（弗晰）逻辑，等等。非经典逻辑是从20世纪初流行起来的。1907年布劳维提出在无穷集的推理中排中律不适用的思想。1920年卢卡西维茨提出了三值命题演算，建立了历史上最早的一个多值逻辑系统。后来，又建立了四值和多值逻辑。

1921年波斯特也构造了一个与卢卡西维茨的系统有所不同的多值逻辑系统。从1911年开始，刘易斯先后创立了六个模态逻辑的公理系统，并提出“严格蕴涵”的概念，以之作为他所创立的模态系统的基本运算。近几年来，还出现了建立模态形式化的逻辑演算系统以及对因果模态进行形式化的尝试。模态逻辑与多值逻辑都是在经典逻辑基础上建立的，但它们也有区别，前者是扩大型的，后者是限制型的，扩大和限制都是就它们构成形式系统后所得的定理集的扩大和限制而言的。

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