蝴蝶定理——笛沙格对合定理的运用

在古典欧式几何中，蝴蝶定理算是一个比较精彩，美妙的结果了，它形式对称，美观，至今已经有很多种的证明。

本文着重从射影几何角度来说明蝴蝶定理及其不同形式之间的联系。

对于圆来说，定理内容：如图，过弦CD中点E做两条直线分别交圆于IH，JK，连KH，HJ交此弦于ML ，则有LE＝ED

注意到IK，JH与弦的延长线的交点N，O事实上也有OE＝EN。平面几何证法多种多样，最早由霍纳给出，此处不多赘述。

该定理也有别的形式例如当直线CD在圆外时情况变为:如下图，直线OP在圆A外，A在直线上的投影为E，过E任做两条直线与圆交于

IF， HN，则FH，NI与直线的交点K ，L关于E对称，同时也有NF，IH与直线的交点O，P关于E对称。

注意到圆内蝴蝶定理中，中点的条件等价于中心在弦上的投影，于是，圆外和圆内的情形可以统一起来。

接下来在射影几何视角上来说明这个定理。

首先介绍一下笛沙格对合定理：

对于平面内给定的无三点共线的四点，确定了一个二次曲线的四点形束（包括退化的和非退化的），称每一个过这四点的二次曲线（退化的和非退化的）为一个元素，一不过这四个点中任何一个点的直线与任意元素的两个交点为同一个对合的对应点，特别地若交点重合则为对合的一个不动点。

观察定理的构图，E为IF，NH的交点，那么这就是对合的一个实不动点，那么一定存在另一个实点P'作为对合的另一个不变元素，点偶P'E调和分离任意一对对应点，那么很显然定理的内容说明另一个不动点就是那条直线OP上的无穷远点P∞。

设这条直线与圆的交点为C，D（实点或一对共轭的虚点），已知E为不动点，那么只需要证明P∞为另一个不动点，也即点偶E，P调和分离点偶CD即可说明定理成立。

由拉格尔定理知垂直直线被过交点的两条迷向直线调和分离，于是对于E点（即圆心在直线上的投影）的产生应做一些改变，如下图，设圆L过圆环点I，J，设K在绝对对合中的对应点为点M，过K的直线l交LM于点P，则这个点P就是上面构图中的点E。

设直线l与圆交点为NQ（实的或一对共轭的虚点）于是现在的任务就是证明PK调和分离NQ.

证：

由于K，M为绝对对合的一对对应点，那么（MK，JI)＝-1，于是K的极线过点M，又因为无穷远点k的极线过中心L，于是ML为K的极线，由极线性质知（NQ，PK）＝-1 证毕。

于是圆内和圆外的形式都证明了，并且另外一对对称点也有了解释，实际上就是对合的一对对应点，被E和无穷远点调和分离，回到欧式平面上表现出来就是关于E对称。

总结一下，经过上面的讨论 ，我们知道蝴蝶定理在二次曲线上的推论。定理在射影平面内的描述为:过点P的直线l与P的极线交于点E，过E做两直线分别交二次曲线于AB，CD，则AC，BD与直线l的交点K，Q满足（KQ，PE）＝-1， 显然这是笛沙格对合定理的推论，把p投到无穷远处即得到蝴蝶定理在二次曲线上的推广，取二次曲线为椭圆的情况再仿射回圆就是欧式平面上的蝴蝶定理。

那么回到欧式平面上，比如椭圆的情形这个时候，点E（上面说的所谓中心在l上的投影）的生成为过O点的直线与l的交点，这条过O点的直线（即直径）为平行于l的直径的共轭直径。还有下面的结果

如图，UNRM为一个四点形束，则直线l与每一个元素的交点（颜色相同的点）都关于H对称等。

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