应用多项式次数反证 (2-1)

例

设f(x)，g(x)是【实数域】上的多项 式，且

xf²(x)＋xg²(x)＝h²(x)，

则f(x)＝g(x)＝h(x)＝0

证明(反证法)

若f(x) ≠ 0，则f²(x)的次数必为偶数，且首项系数大于零，

则xf²(x) 的次数必为奇数，且首项系数大于零.

对xg²(x)来说也一样.

所以，xf²(x)＋xg²(x)的次数也必为奇数.

且首项系数大于零.

这样，h(x)也一定不等于0.但是h²(x)的次数为偶数，

与左边次数为奇数矛盾，

所以，f(x)＝0

同理可证g(x)＝0

这样h(x)＝0

思考

如果f(x)，g(x)是复数域上 的多项式呢？

展开通俗易懂直白讲解

您的分析和证明非常正确。让我详细解释一下这个证明过程：

1) 首先，我们假设 f(x) ≠ 0。

2) 如果 f(x) 是非零多项式，那么 f²(x) 的次数必定是偶数。这是因为任何数的平方都是非负的，所以 f²(x) 的最高次项系数必定是正的。

3) 当我们将 f²(x) 乘以 x 时，xf²(x) 的次数就变成了奇数，而且最高次项系数仍然是正的。

4) 同样的逻辑也适用于 g(x)。如果 g(x) ≠ 0，那么 xg²(x) 的次数也是奇数，最高次项系数为正。

5) 现在，xf²(x) + xg²(x) 的次数必定是奇数（因为两个奇数次多项式相加，结果仍是奇数次），而且最高次项系数仍然是正的。

6) 但是，等式右边的 h²(x) 如果不为零，其次数必定是偶数（因为它是某个多项式的平方）。

7) 这就导致了矛盾：等式左边是奇数次，右边是偶数次，它们不可能相等。

8) 因此，我们的假设 f(x) ≠ 0 必定是错误的。所以 f(x) = 0。

9) 用同样的方法，我们可以证明 g(x) = 0。

10) 最后，既然 f(x) = g(x) = 0，那么 h²(x) = xf²(x) + xg²(x) = 0，所以 h(x) = 0。

这个证明适用于实数域上的多项式。对于复数域上的多项式，情况会有所不同，因为复数的平方可能是负数，所以这个证明方法不再适用。

这个题目反映的奇偶数的运算性质，拓展总结一下

【claude-3-5-sonnet-20240620】

您提出了一个很好的观点。这个问题确实反映了多项式中奇偶性的一些重要性质。让我们来总结一下这些性质，并进行一些拓展：

1. 多项式的奇偶性：

• 偶次多项式的次数是偶数（如 x², x⁴, x⁶ 等）【这不是废话么。。。，不应该举例这种单个项的多项式，这太特别了，会误导的。】

• 奇次多项式的次数是奇数（如 x, x³, x⁵ 等）

2. 多项式运算中的奇偶性：

• 两个偶次多项式相加，结果仍为偶次

• 两个奇次多项式相加，结果仍为奇次

• 奇次多项式与偶次多项式相加，结果为奇次【这个不对，要看哪个次数高】

3. 多项式乘法中的奇偶性：

• 偶次多项式 × 偶次多项式 = 偶次多项式

• 奇次多项式 × 奇次多项式 = 偶次多项式

• 奇次多项式 × 偶次多项式 = 奇次多项式

4. 多项式平方的奇偶性：

• 任何非零多项式的平方都是偶次多项式

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