实数理论【蓝子定理】二 (3-3)

• 如果你有一堆开区间覆盖了一个闭区间，你总是可以从中选出有限几个开区间，也能覆盖整个闭区间。

聚点定理

• 任何一个有界且包含无数多个数的集合，在实数线上至少有一个点，其周围总是能找到集合里的数。

致密性定理

• 任何被限制在一个范围内的数列，其中一定有部分数列会逐渐靠近某个数。

柯西收敛原理

• 数列收敛的判断标准是，随着序列的推进，任意两项之间的差距可以变得任意小。

介值定理

• 如果一个连续的函数在两点的值不同，那么在这两点间的所有值，函数都会取到。

连通性定理

• 实数线是连贯的，你不能通过两个不相连的集合将其完全分割。

阿基米德性质

• 不管你选择多大的数，总能找到一个整数比它还大；或者，如果你不断将1除以更大的数，最终会得到任意接近零的值。

这些定理共同描绘了实数系统的完整性和连续性，以及在这一基础上建立的数学分析的基石。

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