SEP：阿尔希塔斯（三） (6-5)

阿尔希塔斯对音乐理论的最后一个贡献，与音阶的结构有关（关于以下内容的更详细说明，见 Huffman 2005：402-25 和 Barker 2007：292-302）。希腊人使用了许多不同的音阶，这些音阶的区别在于四度音程或四音音阶的构成方式。这些音阶被分为三大类或类型。一种类型被称为全音阶；其中一个例子是上面描述的毕达哥拉斯全音阶，它建立在音程为 9 : 8、9 : 8 和 256 : 243 的四音音阶上，菲洛劳斯和柏拉图都使用过这种音阶。毫无疑问，阿尔希塔斯知道这种全音阶，但他自己的全音阶四音音阶略有不同，它由 9 : 8、8 : 7 和 28 : 27 这三个音程组成。阿尔希塔斯还定义了另外两种主要类型中的音阶，即自然音阶和半音阶。阿尔希塔斯的自然音阶四音音阶由 5 : 4、36 : 35 和 28 : 27 这三个音程组成，而他的半音阶四音音阶由 32 : 27、243 : 224 和 28 : 27 这三个音程组成。关于阿尔希塔斯在每种类型中采用的四音音阶，有几个令人费解的地方。首先，为什么阿尔希塔斯要拒绝菲洛劳斯和柏拉图使用的毕达哥拉斯全音阶？其次，托勒密是我们了解阿尔希塔斯四音音阶的主要资料来源（A16），他认为，阿尔希塔斯采用了一个原则，即所有谐和音程都应该对应于超特殊比率。阿尔希塔斯全音阶和自然音阶四音音阶中的比率确实是超特殊的，但他的半音阶四音音阶中的两个比率却不是超特殊的 (32 : 27 和 243 : 224)。为什么这两个比率也不是超特殊的？最后，柏拉图在《理想国》中批评毕达哥拉斯的和声学，认为它是在听到的和声中寻找数字，而不是上升到普遍的问题（531c）。根据阿尔希塔斯的四音音阶，我们能理解这种批评吗？所有这些问题的答案，都可以在温宁顿-英格拉姆（1932）和巴克（1989，46-52）的著作中找到。关键的一点是，阿尔希塔斯对三种类型中每一种类型的四音音阶的描述，都可以证明与他那个时代的音乐实践相一致；托勒密的批评之所以没有说到点子上，是因为他不了解阿尔希塔斯那个时代的音乐实践，而托勒密生活的时代比阿尔希塔斯晚了大约 500 年（Winnington-Ingram 1932，207）。阿尔希塔斯正在对实际使用的音阶进行数学描述；尽管数学上的考虑确实发挥了作用（Barker 2007：295-302），但他得出这些数字，部分是通过观察音乐家如何为他们的乐器调音来实现的（Barker 1989，50-51）。他没有遵循毕达哥拉斯全音阶，因为它与任何实际使用的音阶都不符，尽管它确实与一种调音方法相符。阿尔希塔斯半音阶四音音阶中那些不寻常的数字，确实与阿尔希塔斯那个时代使用的一种半音阶相符。托勒密认为阿尔希塔斯坚持所有谐和音程都应该具有超特殊比率的原则，这是错误的（Huffman 2005：422-3），尽管巴克认为他可能遵循的是一个不同但相关的原则（2007：301）。因此，阿尔希塔斯对他那个时代的音乐进行了一次精彩的分析，但恰恰是他对实际音乐实践的关注，引起了柏拉图的愤怒。柏拉图不希望他关注他听到的音乐（“听到的和声”），而是希望他上升到思考哪些数字与哪些数字是谐和的，这是一个相当抽象的问题。柏拉图很可能会欢迎一个完全基于数学考虑的谐和原则，例如只有超特殊比率才是谐和的原则，但阿尔希塔斯想解释他实际听到的音乐中的数字。这里有一个重要的形而上学问题。柏拉图呼吁研究数本身，而不考虑感性世界，而阿尔希塔斯像他之前的毕达哥拉斯学派人物一样，认为感性世界和理智世界之间没有区别，他正在寻找支配感性事物的数字。关于阿尔希塔斯是柏拉图在《理想国》中抱怨的对象的讨论，见 Huffman 2005：423-5 和 Barker 2014：192-3。

2.3 对阿尔希塔斯作为数学家的评价

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