数学联邦政治世界观
超小超大

SEP:可计算性与复杂性(三) (2-2)

让我们将目光移向这张图的底部,其有一个区域被用绿色虚线标记出了“真正可行(truly feasible)”。注意,这不是一个数学上严格定义的类,而是一个直观的概念,对于所有那些合理大小的实例,在合理的时间量内,使用我们能承担得起的计算机,而能被准确解决的问题(有趣的是,这些年来随着计算机运算速度的急剧增长,我们对于我们能够处理多大实例,的相关期望,也相应地提高了。因此,什么是真正可行的边界的变化,比计算机运算速度的增加,显示得要慢)

就像前面所说的那样,P是一个很好的数学工具,涵盖了可行问题的集。在P中的有些问题,其问题大小n要求 ₙ¹⁰⁰⁰ 时间,因此是不可行的。“自然”在这里似乎成了我们的朋友,也就是说在 P中自然发生的那些问题倾向于相对简单的算法,及“自然”问题也往往是可行的。对于大小为n的问题所要求的步数,往往小于,有着较小乘法常量c与很小指数k的cnᵏ,即k ≤ 2。

实践中,关于自然发生问题的渐进复杂度(asymptotic complexity),往往是决定它们是否可行的关键议题。对于有着复杂度17n的问题,在现代计算机中一分钟内就可解决,其每个实例大小为十亿。而另一方面,一个最坏情况复杂度为2ⁿ问题,即使其实例大小只有100也用尽我们一生的时光都无法被解决。

值得注意的是,自然问题往往是对于一些重要的复杂性类完全的,即图中那些类,而只有极少数是其他的。这个有趣的现象意味着,算法与复杂度将不仅仅是抽象概念,它们在实践层面也非常重要。我们在提供,关于我们感兴趣的问题对于一个著名的复杂性类是完全的,这个方面的证明上,已取得了瞩目的成功。如果该类被P所包含,那么我们通常可以查找一个已知能行的算法,否则,我们必须研究问题的简化与近似,这可能可行。

关于NP优化问题(NP optimization problems)的近似有着丰富的理论(见,(Arora & Barak, 2009))。例如,上文提到的子集和问题,是一个NP完全问题。更可能的是,它需要指数级时间去判定一个给定子集和问题是否有一个精确解。然而,如果我们仅仅想看看我们是否能达到给定位数的精度,那么这个问题就将变得非常简单,即,子集和问题很难,但去近似则很简单。

甚至,对递归可枚举完全的停机问题也有很多重要而可行的子问题。给定一个程序,它总的来说不可能知道它自己在干什么以及其最终是否停机。然而,多数被程序员与学生写下的程序都可被现代的编译器与模型检查器,自动地分析,优化,甚至修正。

NP类在实践与哲学上都非常重要。它是这样的问题类S,其中,任意输入ω,在S中,当且仅当,存在证明P(ω),使得,ω ∈ S,且P(ω)不比 ω大出许多。所以,不那么正式地来说,我们可以认为NP有一个可被达到的脑力活动的集,当,我们能够判断ω ∈ S,且可以说服其他人我们做到了时。

布尔可满足性问题(Boolean satisfiability problem),SAT,是第一个被证明的NP完全问题(Cook, 1971),即,它是一个最难的NP问题。事实是,SAT是NP完全的,意味着,在NP中的所有问题都可被还原为SAT。多年来,研究者已经搭建了非常高效的SAT求解器,其可以快速地解决许多SAT的实例,即,找到一个可满足的指派,或者是证明没有这样的一个指派,甚至对于有着百万变量的实例来说。因此,SAT求解器被常用作通用问题求解器(general purpose problem solvers)。另一方面,对于一些已知的小实例类,当前的SAT求解器的是失败的。因此,P与NP问题的一部分涉及到,SAT的实际与理论复杂度(Nordström, 2015)。

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