德勒兹论文1（二） (5-1)

另一边，具体对偶则发生于这样的情况下，即用给定的对偶对象，对每个对象求幂，从旧的图形成新的图，例如，X变为xⱽ ，V为对偶对象（注：在这里，求幂的意思就是取V→X的映射集），箭头在新图中就自然变为逆向的。这时，不是每一个陈述都会被关于V做对偶的程序带入其的形式对偶中，这实际上是数学研究与逻辑研究中很大的一部分，对于数学:

空间 vs. 数量(space vs. quantity）

和逻辑:

理论 vs. 实例(theory vs. example)

两者或许可以看做是形式对偶性与关于我们偏好的V所做的具体对偶性在何种程度上对应的详细研究。（p122）

与完美/不完美的辩证法不同，我们没有从洛特芒那里学到关于互反/对偶理念的非数学实例。但如果朗兰兹纲领因它是一种理念的表现形式有着哲学上的重要性，那么这种理念在生活的其他领域也同样能表现出来，为此我们需要想出一些有趣的例子。我们可以想出一些点子，但肯定会担心它们和数学的例子相比毫不重要，最好的办法还是去物理中寻找，比如电场与磁场的对偶。实际上数学例子与物理的例子有着巨量的共同点，他们有着一个互相影响和发展的连续历史，从霍奇理论（Hodge theory）与德拉姆上同调（de Rham cohomology），到理论物理中镜像对称，与弦论中的T-对偶与S-对偶。卡普斯汀和威滕(Kapustin and Witten 2006)就将电磁对偶与朗兰兹纲领的一部分联系起来。又有许多迹象表明范畴论发挥了关键作用。

不过或许洛特芒的问题是，他本能地向我们指出，在数学中重复显现的同一理念，最终也可以由数学通达。但有一些理由认为并非所有的数学都行此道路

3．两种数学文化

特芒关于数学的美学感觉驱使他选出这些例子，而这些例子最终在范畴论中得以展开，但也有其他美学感觉并存。虽然我仍相信洛特芒本人会喜欢我在我与朋友共同经营的博客（The n-Category Café）上讨论的材料，陶哲轩（Terence Tao）写的博客却也有一种相当不同的感性。我认为，捕捉这种差异的最好工作是蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）的论文《数学的两种文化》（The Two Cultures of Mathematics），其中有个“理论构建者”和“问题解决者”的区分。我认为我们必须非常小心这些标签，就像高尔斯自己做的那样：

当我说数学家可以分为理论构建者和问题解决者时，我指的是他们的优先关注，而不是荒谬地宣称他们只专注于一种数学活动。（p2）

那么，为了避免误解，也许最好直接给出两种文化的典例。

理论构建者：格洛腾迪克的代数几何，朗兰兹纲领，镜像对称与椭圆上同调（elliptic cohomology）。

问题解决者：组合图论，拉姆齐定理，塞迈雷迪定理（Szemerédi’s theorem），素数中的等差数列。

高尔斯提到迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Atiyah）是理论构建者的最佳范例，并推荐了他的非正式随笔，其文集第一卷的“General papers”，事实上，它们体现了一种美学，在我做哲学 PhD 的时候，我非常钦佩。另一方面，埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）被认为是一个完美的问题解决者，那么其相应的美学呢？

解决问题的主题其中一个引人之处，就是问题的易得性，这被高尔斯收集在“组合学”的宽松外衣之下：

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