Riemann-Roch定理 (6-6)

That's a special case of Riemann-Roch for a Riemann surface of genus g＝0 . In this case, Riemann-Roch is enough to tell us exactly what this dimension ℓ is. If D is a divisor of degree d＜0 , then there are no functions other than 0 satisfying the conditions, and so ℓ＝0.

代数曲线的Riemann-Roch定理

设k 是代数完备域，C 是域 k 上的complete，非奇异代数曲线，即是一维整概形，proper over k ，所有局部环都是正则的. 它的几何亏格定义为

g(C)：＝dimₖΓ(C，Ω¹ᴄ)

记ℓ(D)＝dimₖH⁰(X，𝓞 x(D)) .

则Riemann-Roch定理是说：存在典范除子 K 使得

ℓ(D) – ℓ(K – D)＝deg(D) – g＋1

证明：由定义知 ℓ(K – D)＝dimₖH⁰(X，ωx ⨂ 𝓞 x(D)∨) ，而由Serre对偶知‬

H⁰(X，ωx ⨂ 𝓞 x(D)∨) ≃ H¹(X，𝓞 x(D))∨

于是 ℓ(D) – ℓ(K – D) 恰好是除子 D 的欧拉示性数 χ(X，𝓞 x(D)) ，而 χ(X，𝓞 x)＝1 – g ，于是Riemann-Roch定理可改述为：

χ(X，𝓞 x(D))＝deg(D)＋χ(X，𝓞 x)

参考文献：

1. Joseph J.Rotman, An Introduction to Homological Algebra.

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